Матэматы́чнае спадзява́нне, таксама матэматычнае чаканне, сярэдняе значэнне, матспадзяванне выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні X. Абазначаецца або . Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да .
Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні , з імавернасцямі , дзе , то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш (адсюль назва).
Матэматычнае спадзяванне — тое самае, што і першы пачатковы момант выпадковай велічыні.
Азначэнне
Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега Няхай зададзена прастора імавернасцей і азначаная на ёй выпадковая велічыня . То бок, паводле азначэння, — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад па прасторы , то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца або :
Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны , кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзяванняЗвяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5..
Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні Калі — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стыльт’еса: , .
Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання) Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю , роўнае .
Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні Калі — дыскрэтная выпадковая велічыня, з размеркаваннем , , тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што .
Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні Калі — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей , , , то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз утваральную функцыю паслядоўнасці
Уласцівасці матэматычнага спадзявання Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.
— канстанта;
Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок , дзе — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а — любыя канстанты; У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.
Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі амаль напэўна, і — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні таксама канечнае, і больш за тое: .
Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі амаль напэўна, то .
Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь роўнае здабытку іх матспадзяванняў .
Для ўсякай і інтэгравальнай па меры функцыі матэматычнае спадзяванне існуе і роўнае
Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні , азначанай на прасторы імавернасцей з канечным матспадзяваннем , справядліва няроўнасць: , дзе .
Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай — прастора імавернасцей, — азначаная на ёй выпадковая велічыня, — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што , тады .
Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем
Тэарэма Леві пра манатонную збежнасць Тэарэма Лебега пра мажажыруемую збегнасць
Заўвагі
Літаратура Матэматычнае спадзяванне і дысперсія // Звяровіч Э. І., Радына А. Я. Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 111. — 206 с. — ISBN 978-985-01-1043-5.
Катэгорыя:Тэорыя імавернасцей