Сфера е геометрична повърхност, която се дефинира като множество от точки, намиращи се на дадено разстояние от определена точка. Тази точка се нарича център на сферата, а разстоянието до точките от сферата се нарича неин радиус.* Сферата се получава също чрез въртене в пространството на окръжност около неин диаметър; центърът на тази окръжност е център и на сферата, а радиусът ѝ е равен на радиуса на сферата.
Всяка отсечка, която свързва центъра на сферата с произволна нейна точка има дължина, равна на радиуса и също се нарича радиус. Сфера с радиус 1 се нарича единична сфера.
Кълбо и сфера Обединението от точките върху сферата и тези във вътрешността ѝ се нарича кълбо. Сферата е повърхността на геометричното тяло кълбо.
Общият случай на сфера в n-мерно пространство е повърхнина с n – 1 измерения. Вътрешността ѝ съответно е n-мерно кълбо.
Сфера се отнася към кълбо в тримерното пространство, както окръжност към кръг в двумерното.
Взаимни положения на права, равнина и сфера
Всяка права може да има с дадена сфера 0, 1 или 2 общи точки.
Когато правата има 2 общи точки със сферата, тя е секуща. Отсечката, чиито краища са двете пресечни точки, се нарича хорда на сферата. Хорда, минаваща през центъра, се нарича диаметър и той е равен на два радиуса . Разстоянието между двете пресечни точки по повърхността на сферата се нарича дъга на сферата.
Когато правата има само една обща точка със сферата, тя се нарича допирателна, а общата точка се нарича допирна точка. Всяка допирателна е перпендикулярна на радиуса, който свързва центъра на сферата с допирната точка. Валидно е и обратното твърдение. Всички допирателни към сфера във фиксирана нейна точка лежат в една равнина, която се нарича допирателна равнина. Например, сфера, поставена върху равна основа се допира до нея в една точка.
Сфери на Данделен
В геометрията сферите на Данделен са една или две сфери, които са допирателни както към равнина, така и към конус, който се пресича от равнината. Пресечната част на конуса и равнината е конично сечение, а точката, в която една от двете сфери се допира до равнината, е фокус на коничното сечение. Затова сферите на Данделен понякога се наричат също фокални сфери. Taylor, Charles. An Introduction to the Ancient and Modern Geometry of Conics, page 196 („focal spheres“), pages 204 – 205 (history of discovery) (Deighton, Bell and co., 1881).
Ако коничното сечение е елипса, съществуват две такива сфери в същия конус, които се допират до секущата равнина от двете ѝ страни, както е показано на чертежа – допирните им точки и са фокуси на елипсата. Когато сечението е хипербола, едната сфера е разположена в дадения конус, а втората – в симетричен конус на дадения относно върха му. Допирните точки са фокуси на хиперболата. В случая, когато коничното сечение е парабола, съществува само една сфера, която се допира до секущата равнина във фокуса на параболата.
Kръгови сечения
Всяка равнина, която не е допирателна към сферата, или няма общи точки с нея, или я пресича по окръжност. Тази окръжност се нарича голяма окръжност, когато секущата равнина минава през центъра на сферата, и малка окръжност, когато тя не минава през центъра.
Ако сечението е окръжност, то може да бъде записано в параметричен вид:
(вижте Равнинно сечение на елипсоид.)
Пресичане на сфера с повърхност на въртене, чиято ос минава през центъра на сферата, се състои от окръжности и/или точки.
На фигурата сфера пресича цилиндър в две окръжности. Ако диаметрите сферата и цилиндъра са равни, сферата е вписана в цилиндъра и се допира до него в контактна окръжност.
Ротационен елипсоид със същия център като сферата и голяма ос като диаметъра на сферата би допирал сферата в две точки (върхове), които са краищата на голямата ос.
Това свойство се използва в дескриптивната геометрия за конструиране на точки върху пресечната крива на повърхности на въртене (вижте метода на спомагателната сфера).
Криви върху сфера Локсодрома
В навигацията локсодромата е дъга, пресичаща всички меридиани под един и същи ъгъл. Локсодромите са същите като правите линии в Меркаторовата проекция. Локсодромата не е сферична спирала. С изключение на някои прости случаи, формулата на локсодромата е сложна. В Морска навигация движението по локсодрома отговаря на движение по постоянен истински или магнитен курс.
Клелия
Линията клелия е крива върху сфера, за която географската дължина и географската ширина отговарят на уравнението .
Специални случаи са: кривата на Вивиани () и сферичните спирали () като сейфертовата спирала. Пътят на сателитите в полярна орбита се приближава до клелия.
Сферични коники
Аналогът на коничното сечение върху сферата е сферична конична част, биквадратна крива, която може да бъде дефинирана по няколко еквивалентни начина, включително:
като пресечната точка на сфера с квадратен конус, чийто връх е центърът на сферата; като пресечна точка на сфера с елиптичен или хиперболичен цилиндър, чиято ос минава през центъра на сферата; като геометрично място на точки, чиято сума или разлика от разстоянията на голям кръг от двойка фокуси е постоянна.
Много теореми, отнасящи се до равнинни конични сечения, се отнасят и до сферичните конични сечения.
Сечение на сфера с по-обща повърхност Ако една сфера е пресечена от друга повърхност, може да има по-сложни сферични криви.
Сфера – цилиндър
Сечението на сфера с уравнение и цилиндър с уравнение не е само един или два кръга. Това е решението на нелинейната система от уравнения
Графично се изразява с червената неявна крива на фигурата.
Части на сфера и кълбо Всяка равнина, която пресича сфера, разделя сферичната повърхнина на две сферични шапки, а кълбото – на два сферични сегмента. Ако равнината минава през центъра на сферата, се получават 2 полусфери и 2 полукълба.
Ако две успоредни равнини пресичат сфера, те отсичат от сферичната повърхнина сферичен пояс, а от кълбото – сферичен слой.
Когато краят на един радиус описва окръжност по сферата, кълбото се разделя на два сферични сектора.
Две равнини през центъра на сферата я разделят на четири сферични двуъгълника, а кълбото – на четири сферични клина.
Две пресичащи се равнини, чиято пресечна линия лежи частично вътре в сферата, изрязват обект от сферата, чиято извита повърхност е лунната сфера.
Определения Сферата е повърхност, образувана от въртене на кръг с половин оборот около всеки от неговите диаметри; това е много подобно на традиционното определение на сфера, дадено в „Елементи“ на Евклид. Тъй като кръгът е специален тип елипса, сферата е специален вид ротационен елипсоид. Заменяйки кръга с елипса, завъртяна около главната си ос, формата става издължен сфероид; завъртян около малката ос, сплескан сфероид. .
Дълго време ежедневният език е използвал думата „сфера“ за назоваване както на повърхността, така и на геометричното тяло, което тя ограничава. В наши дни освен прецизираните понятия „сфера“ за повърхността и „кълбо“ за геометричното тяло са формулирани и други определения, свързани със сферата: В енциклопедията на Дидро и Д'Аламбер, например, сферата е „геометрично тяло, съдържащо се под една повърхност и което има в средата точка, която се нарича център, откъдето всички линии, начертани на повърхността, са равни.“ (s:L’Encyclopédie/1re édition/SPHERE) и има малка мнемонична рима за изчисляване на обема на сферата „Le volume de la sphère/est quoi qu'on puisse faire/quatre tiers de pi R trois/qu'elle soit en fer ou en bois“ – „Обемът на сферата/е каквото човек може да направи/четири трети от pi R на трета/независимо дали е от желязо или дърво“ (Roland Bouchot, L'Amour des mots, стр. 142) Две антиподни точки са две диаметрално противоположни точки на сферата. Това е случаят с географските полюси на земната сфера. Голяма окръжност (кръг) е окръжност, начертана върху сферата и имаща същия радиус като сферата. Големият кръг винаги минава през две противоположни точки. Меридианите на земната сфера са големи окръжности. Паралелите също са окръжности, начертани върху сферата, но техните радиуси обикновено са по-малки от тези на сферата и тогава те не са големи окръжности. Единственият паралел, който е голяма окръжност, е екваторът.
Сферичен капак е част от сфера, отрязана от пресичаща я равнина. Сферичен пояс (сферична зона) е част от сфера между две успоредни равнини. Сферичен слой е геометричното тяло, ограничено от две успоредни равнини, пресичащи сфера и сферичния пояс, който те определят. Сферичен сегмент е фигура, начертана върху сферата от два големи полукръга с еднакви краища. Сферичен клин е геометрично тристенно тяло, изрязано от кълбо от две пресичащи се равнини в кълбото. Двете му стени са равнинни, а третата е сферичен сегмент, подобно на резен от диня или портокал.
Сферичен сектор или сферичен конус е геометрично тяло с конична околна повърхнина и сферична основа с формата на сферичен капак, изрязано от кълбо от радиус, чийто подвижен край описва окръжност. Сферична обвивка (куха сфера) е разликата между две концентрични сфери с различен радиус.
Сферичен триъгълник е фигура, начертана върху сферата, образувана от три точки, свързани с дъги от големи кръгове. Сферичният многоъгълник е фигура, начертана върху сфера, образувана от няколко точки, свързани с дъги от кръгове.
Свойства В своята книга „Геометрията и въображението“ Давид Хилберт и Стефан Кон-Восен описват 11 свойства на сферата и обсъждат дали тези свойства уникално определят сферата. Има няколко свойства за равнината, която може да се разглежда като сфера с безкраен радиус. Тези свойства са: Всички точки на сферата са на едно и също разстояние от фиксирана точка. Също така съотношението на разстоянието на нейните точки от две фиксирани точки е постоянно. Първата част е обичайното определение на сферата и я определя еднозначно. Втората част може лесно да бъде изведена и следва подобен резултат за кръга на Аполоний Пергски. Тази втора част важи и за двумерното пространство. Контурите и равнинните сечения на сферата са кръгове. Това свойство дефинира сферата уникално. Сферата има постоянна ширина и постоянна обиколка. Ширината на повърхността е разстоянието между двойки успоредни допирателни равнини. Много други затворени изпъкнали повърхности имат постоянна ширина, например тялото на Майснер. Обиколката на повърхността е обиколката на границата на нейната ортогонална проекция върху равнина. Всяко от тези свойства предполага другото.
Всички точки на една сфера са кръгови. Във всяка точка на повърхността нормалната посока е под прав ъгъл спрямо повърхността, защото на сферата това са линиите, излъчващи се от центъра на сферата. Пресечната точка на повърхността с равнина, която съдържа нормалата, ще образува крива, която се нарича нормално сечение, а кривината на тази крива е нормалната кривина. За повечето точки на повечето повърхности различните участъци ще имат различна кривина; максималната и минималната им стойност се наричат главни кривини. Всяка затворена повърхност ще има поне четири точки, наречени точки на закръгляне, кръгови точки или още пъпни точки (на френски омбилики). В тях всички секущи кривини са равни; по-специално главните кривини са равни. Пъпните точки могат да се разглеждат като точките, където повърхността е близка до сфера. За сферата кривините на всички нормални сечения са равни, така че всяка точка е пъпна. Сферата и равнината са единствените повърхности с това свойство. Сферата няма повърхност от центрове. За дадено нормално сечение съществува окръжност на кривина, която е равна на секционната кривина, допирателна е към повърхността и чиито централни линии лежат на нормалната линия. Например, двата центъра, съответстващи на максималната и минималната секционна кривина, се наричат фокални точки, а наборът от всички такива центрове образува фокалната повърхност. За повечето повърхности фокалната повърхност образува два листа, всеки от които е повърхност и се срещат в пъпни точки. Няколко случая са специални: