Корен -ти от числото в математиката се нарича такова число че . Символът се нарича радикал. Числото се нарича коренен показател (показател на корена), индекс или степен на корена. Той е естествено число, по-голямо или равно на 2, защото случаят е тривиален и не представлява интерес. Числото най-често е реално или комплексно число, но има и обобщения за други математически обекти, например остатъци, матрици и оператори. Изчисляването на корен от число се нарича коренуване.
В математическия анализ корените се считат за специален случай на степенуване, където степента е дроб: .
Общоприето е корен 2-ри да се нарича квадратен корен, а корен 3-ти – кубичен корен. Обикновено показателят на квадратния корен не се записва и ако не е отбелязан, се подразбира . Например: Квадратен корен от 9 са 3 и −3, защото 32 = 9 и (−3)2 = 9, или . защото
При всеки четен коренен показател се получават 2 корена, които са еднакви числа с обратни знаци, както се вижда от първия пример. За еднозначно определяне е въведено понятието аритметичен корен, чиято стойност винаги е неотрицателна, в първия пример това е числото 3.
Всяко реално или комплексно число има на брой комплексни корени. Корените от 0 са винаги 0.
Няма реални корени с четна степен от отрицателни числа. Винаги е възможно да се извлече корен с произволна степен от комплексно число, но резултатът не е еднозначно определен – комплексен -ти корен от число, различно от нула има различни стойности.
Корените са особено важни в теорията на безкрайните редове. -тите корени могат да бъдат дефинирани в областта на комплексните числа, а комплексните корени от 1 играят важна роля във висшата математика.
История Първите задачи, свързани с извличането на квадратния корен, са намерени в трудовете на вавилонските математици. Сред тези задачи са:
Приложението на теоремата на Питагор за намирането на страните на правоъгълен триъгълник по вече известни други две страни. Намирането на страните на квадрат с известна площ. Решаването на квадратни уравнения.
Вавилонските математици разработват специален числен метод за извличането на квадратен корен. Първоначалното приближение за се изчислява, изхождайки от най-близкото до корена (от по-малката страна) естествено число . Представяйки подкоренния израз във вида , се получава , след което се използва повтарящ се процес за прецизност, съответстващ на метода на Нютон:
Итерациите в този метод имат много бърза сходимост. За , например, се получава последователно приближение:
Всичките цифри, освен последната, са верни.
Аналогични задачи и методи се срещат в древнокитайската „Математика в девет книги“. Древните гърци правят важното откритие, че е ирационално число. Детайлно изследване, водено от Таетет Афински (IV век пр. н.е.), показва, че ако коренът на естествено число не е цяло число, то той ирационален.
Гърците формулират проблема за удвояването на куба, който се свежда до построяването на кубичен корен с помощта на линийка и пергел. Проблемът се оказва неразрешим. Алгоритмите за намирането на кубичния корен публикуват Херон (I век) и индийският математик Ариабхата (V в.).
Алгоритмите за извличане на корен от коя да е степен от цяло число, разработени от индийски и ислямски математици, са усъвършенствани в средновековна Европа. Епископът Николай Орем (род. 1330 год. Фльори Сюр Орн, кралство Франция - поч. 1382 год. Лизио, кралство Франция) първи изтълкува корена от -та степен като повдигане на степен .
След появяването на формулата на Кардано (XVI век) започва използването на имагинерни числа в математиката, считани за квадратните корени на отрицателните числа. Основите на техниката за работа с комплексни числа са разработени в началото на XIX век от Рафаел Бомбели, който предлага първоначалния метод за изчисляване с корени (с помощта на верижни дроби). Откриването на формулата на Моавър (1707 г.) показва, че намирането на корен от коя да е степен от комплексно число винаги е възможно и не води до нов тип числа.
Комплексните корени от произволна степен са дълбоко изследвани от Гаус в началото на XIX век, въпреки че първите резултати принадлежат на Ойлер.
Определение и свързани понятия Освен приведеното по-горе, може да се дадат две равносилни определения на корена:М. И. Сканави М. И. Элементарная математика. П. 1.11. С. 49 (на руски).
Корен -ти от число е решението на уравнението (имайки предвид, че решенията могат да са няколко или николко) Корен -ти от число е коренът на многочлена , тоест стойността , при която даденият многочлен е равен на нула.
Операцията по изчисляването на се нарича извличане на корен -ти от число . Това е една от двете операции, обратни на степенуването, а именно – намирането на основата на степента по даден показател и резултата от степенуването . Втората операция, логаритмуването, намира показателя на степента по известна основа и резултат.
Корени от реални числа Корен -ти от реално число , в зависимост от четността и знака на , може да има от 0 до 2 реални стойности.
Общи свойства Нечетен корен от положително число – положително число, еднозначно определено. , където – нечетно Например,
Нечетен корен от отрицателно число – отрицателно число, еднозначно определено. , където – нечетно Например,
Четен корен от положително число има две стойности с противоположни знаци, но равни по модул. , където – четно Например,
Четен корен от отрицателно число не съществува в областта на реалните числа, тъй като при повдигането на кое да е реално число на степен с четен показател, резултатът ще бъде неотрицателно число. Такъв корен обаче съществува в по-широката област на комплексните числа. По-долу е показано как се намират такива корени в комплексната числова система. Следователно, винаги трябва да се има предвид от коя числова система (реална или комплексна) се извлича коренът. не съществува, ако – четно
Какъвто и да е корен от нула е равен на нула. където
Аритметичен корен Както е посочено по-горе, четните корени обикновено не са еднозначно дефинирани и този факт създава неудобства при тяхното използване. Затова е въведено практически важно ограничение на това понятие.
Аритметичният -ти корен на неотрицателното реално число е неотрицателно число , за което . Аритметичният корен се обозначава със знака за корен.
По този начин, аритметичният корен, за разлика от общия (алгебричен) корен, е дефиниран само за неотрицателни реални числа, а неговата стойност винаги съществува и е еднозначна и неотрицателна. Например, квадратният корен от има две стойности: и , от които първата е аритметичният корен.
Алгебрични свойства Взаимно съкращаване на корен и степен – за нечетни : , за четни : Ако , то и Корен от произведение е равен на произведението на корените от множителите му:
Аналогично за деление:
Следващото равенство определя повдигането в дробна степен:
Стойността на корена не се изменя, ако показателят му и степента на коренувания израз се разделят на едно и също число: Пример:
За нечетните корени може да се изведе допълнително свойство:
Извличане на корен и повдигане на дробна степен
Операцията за степенуване първоначално е въведена като съкратен запис за умножение на естествени числа: (n пъти).
Следващата стъпка е да се дефинира степенуване до произволно цяло число, включително отрицателна степен:
Операцията за извличане на аритметичен корен ни позволява да дефинираме повдигане на положително число на произволна рационална (дробна) степен:Выгодский М. Я. – Справочник по элементарной математике — изд. 25-е. — М.: Наука, 1978, ISBN 5-17-009554-6, с. 183 (на руски).
В този случай числителят на дробта може да има знак. Свойствата на разширената операция са основно същите като тези на повдигането на цяло число.
Това определение означава, че извличането на корена и неговият обратен показател по същество се комбинират в една алгебрична операция. По-специално:
Опитите за рационализиране на отрицателни числа могат да доведат до грешки, тъй като стойността на алгебричния корен не е еднозначно дефинирана, а диапазонът от стойности на аритметичния корен е ограничен до неотрицателни числа. Пример за възможна грешка: което не е вярно.
Грешката възникна, защото неаритметичният квадратен корен е многозначна функция и не може да се използва в аритметични операции.
Опростен вид на коренния израз Коренният израз е в опростен вид, ако: Няма множител пред подкоренния израз, който може да бъде записан като степен, по-голяма или равна на показателя на корена. Няма дроби под знака на корена. Няма корен в знаменател.
Например, за да се запише коренният израз в опростен вид, могат да се следват няколко стъпки. Първо се гледа под радикала за множител, който е идеален квадрат и се коренува:
След това трябва да се премахне дробта под радикала, който се заменя с дроб от радикали:
Накрая се премахва радикала от знаменателя, като се рационализира знаменателя:
Когато има корен в знаменател, винаги е възможно да се намери множител, с който да се умножат числителя и знаменателя, за да се опрости израза.B.F. Caviness, R.J. Fateman, „Simplification of Radical Expressions“, Proceedings of the 1976 ACM Symposium on Symbolic and Algebraic Computation, p. 329 (на английски).Richard Zippel, „Simplification of Expressions Involving Radicals“, Journal of Symbolic Computation 1:189 – 210 (1985) (на английски) Например при факторизацията на сумата на два кубични корена:
Опростяването на коренни изрази, включващи вложени радикали може да бъде много трудно. Например, не е очевидно, че
Горното равенство може да бъде изведено така:
Нека , където и са взаимно прости и положителни цели числа. Тогава е рационално, ако и само ако и , и са цели числа, което означава, че и , и са -ти степени на някое цяло число.
Функция на корена
Функцията на корена се отнася към алгебричните функции. Графиката на всяка функция на корена преминава през началото на координатната система и точката . Тип на функцията на корена Област на определение Други свойства Четен индекс Функцията е изпъкнала нагоре в цялата си област на определение. Нечетен индекс Функцията е нечетна.
За всеки индекс коренната функция е строго нарастваща и непрекъсната навсякъде в областта си на определение. Тя е неограничено диференцируема навсякъде, освен в началните си координати, където производната се превръща в безкрайност. Производната се определя по формулата: В частност, .
Функцията е неограничено интегрируема навсякъде в областта си на определение. Неопределеният интеграл се намира по формулата: В частност, , където е произволна константа.
Съотношения на границите Някои полезни съотношения на граници, съдържащи корени:
Безкраен ред Радикалната единица или коренът може да бъде представена чрез безкраен ред на Маклорен: ,
където . Този израз може да бъде изведен от биномиален ред.
N-тите корени се използват за проверка на сходимостта на степенен ред с радикалния признак на Коши.
Изчисляване на корени Практическо изчисление на корен Функциите за квадратен и кубичен корен са налични в много калкулатори; например, калкулаторът Windows показва съответните бутони в научен режим. Ако на електронния калкулатор има клавиш за повдигане на степен „“, тогава извличането на корен от число се извършва в следния ред:Алгебра. 9 класс – учебник для общеобразовательных учреждений, под ред. С. А. Теляковского, изд. 18-е. М., издательство „Просвещение“, 2011, 53 стр., ISBN 978-5-09-025168-6 (на руски). Въвежда се числото, което ще се коренува. Натиска се клавиша „“. Въвежда се коренния показател. Натиска се клавиша „“. Натиска се клавиша „“.
За ръчни изчисления можете да се използва бързосходящия метод, описан в статията „Алгоритъм за намиране на N-ти корен“. За степени, по-големи от три, можете да се използва логаритмичното тъждество:
За да извлечете корена, намира се логаритъма на израза под радикала, разделя се на коренния показател и се намира антилогаритъма на резултата.
Използване на метода на Нютон