Граница в математиката е стойността, до която дадена функция или числова редица се доближава, когато аргументът се доближава до някаква стойност.Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8. Границите са важна част от математическия анализ и се използват за определяне на непрекъснатост, производни и интеграли.

Формулата за граница на функция обикновено се записва по следния начин: , и се чете: границата на от , когато се доближава до , е равна на . Фактът, че функцията се доближава до лимита , когато се доближава до , понякога се записва със стрелка, например:

Граница на функция

Нека да е реална функция, а – реално число. Интуитивно, записът

означава, че може да бъде много близо до , като доближим достатъчно близо до . В този случай, по-горното уравнение се чете по следния начин: „границата на от , когато клони към , е “.

През 1821 г. Огюстен Луи Коши, следван от Карл Вайерщрас, формализира дефиницията на границата на функция, която става известна като (ε, δ)-дефиниция на граница. Дефиницията използва ε (малка буква епсилон в гръцката азбука), за да обозначи кое да е малко положително число, така че „да се доближи до “ да означава, че лежи в интервала , което може да се запише и със знака за абсолютна стойност – Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2010). Calculus of a single variable (Ninth ed.). Brooks/Cole, Cengage Learning. ISBN 978-0-547-20998-2.. Тогава изказът „когато клони към “ индикира, че се отнасяме към стойностите на , чието разстояние от е по-малко от някое положително число δ (малка буква делта от гръцката азбука), т.е. стойностите на при или , може да се изрази с . Първото неравенство означава, че разстоянието между и е по-голямо от и, че , а следващото неравенство показва, че е на разстояние от .

Горната дефиниция на лимита е вярна, дори ако . Функцията не е необходимо да бъде дефинирана при .

Например, ако

то тогава не е дефинирана (виж делене на нула), но когато се доближава до 1, се доближава до 2: f(0.9)f(0.99)f(0.999) f(1.0) f(1.001)f(1.01)f(1.1) 1.900 1.990 1.999 ⇒ недефинирана ⇐ 2.001 2.010 2.100

Граница се въвежда и ако директното пресмятане на стойността на функция в разглеждана точка води до неопределеност от типа 0/0. Например директното пресмятяне на стойността на функцията

за води до резултат 0/0, който не е еднозначно дефиниран. Но ако изчислим стойността на същата функция за стойности на , близки до 0, например 0,0001, ще получим 1, т.е.

.

Лява и дясна граница на функция В много случаи независимата променлива х клони към х0 чрез растящи редици от стойности, т.е. отляво, или чрез намаляващи редици от стойности, т.е. отдясно. Получените граници в тези случаи се наричат лява и дясна граница на функцията в зависимост от това дали аргументът остава съответно по-малък, или по-голям от стойността, към която клони. Бележат се със:

за лява граница и

за дясна граница.

Лява и дясна граница се определят в случаите, когато тези две стойности са различни – тогава функцията е прекъсната в дадената точка. Например лявата и дясната граница на функцията при , клонящо към , са съответно .

Неистинска граница на функция Казва се, че функцията има неистинска граница или , ако за всяко произволно голямо число съществува такова число , че за всички , за които , е изпълнено неравенството , съответно f(x) < -C. Означава се:

, .

Поведение на функциите в безкрайността Поведението на дадена функция за много големи положителни и много малки отрицателни стойности на аргумента се определя със следните дефиниции:

Казва се, че

и съответно

ако за произволно отнапред дадено съществува такова достатъчно голямо , че за всички или съответно за всички .

Основни теореми Границите на съставни функции могат да се изчисляват въз основа на няколко теореми, свързващи границите на съставната функция с границите на съставляващите я функции. Така ако функциите и имат граница при , то: Теорема 1: Теорема 2: Теорема 3: където . Следствие 1: , където е константа. Следствие 2: , където е цяло положително число

При тези изчисления границите на съставната функция могат да бъдат неопределени, при което са възможни няколко вида неопределеност (недефинирано аритметично действие): Неопределеност от вида : Тя се получава от Теорема 3, ако и . Неопределеност от вида : Тя се получава от Теорема 3, ако и . Неопределеност от вида : Тя се получава от Теорема 1, ако и , то: , но може както да съществува, така и да не съществува. Неопределеност от вида : Тя се получава от Теорема 2, ако и

Граница на числова редица Граница на дадена числова редица е число точно тогава, когато за всяко произволно малко положително число може да се намери такова число N(ε), че всички членове аn на редицата с номера n > N(ε) да попадат в интервала (l – ε, l + ε), т.е. да е изпълнено |an – l| < ε за всички n > N(ε).

С формализма на математическата логика това се записва по следния начин:

Еквивалентно, но по-интуитивно определение е следното: Дадено число е граница на числовата редица , ако всяка околност („всяка околност“ е интервалът за произволно ) съдържа всички членове на редицата с изключение на краен брой.

Ако дадена числова редица притежава граница, тогава редицата се нарича сходяща. В противен случай тя е разходяща. Понякога сходяща числова редица с граница нула се нарича нулева или безкрайно малка редица.

Например границата на редицата

при n, клонящо към безкрайност (бележи се n → ∞), е 0, тъй като колкото повече n расте, толкова повече намалява (и все повече се доближава до 0).

Редицата няма граница, понеже има две точки на сгъстяване: -1 и +1. За нито една от тези точки не е изпълнено условието „Всяка околност съдържа всички членове на редицата освен някакъв краен брой“, понеже съществуват две точки, всяка околност на които съдържа безкраен брой членове на редицата: -1 и 1. Редицата е ограничена и отгоре, и отдолу, т.е. съгласно теоремата на Болцано – Вайерщрас съществуват две числови редици: а_{2n} (всички четни членове на редицата) и а_{2n+1} (всички нечетни членове на редицата), които са сходящи: границите им са съответно +1 и -1.

Свойства на границите на редици Ако редиците (an), (bn) и (cn) са сходящи и клонят съответно към a, b, c, то

за bn ≠ 0 и ≠ 0.

за c = const.

при с1 = const, c2 = const.

при b > 0, a > 0, b ≠ 1.

при а > 0 и произволно р.

Основни теореми за граници на редици Всяка сходяща числова редица е ограничена, но не всяка ограничена числова редица е сходяща. Границата на всяка сходяща числова редица е еднозначно определена. Тя не може да има две различни граници. Ако за всички членове на сходящата редица (аn) при са изпълнени неравенствата то тези неравенства са изпълнени и за границата а на редицата: Ако са три сходящи редици, такива че и , то .

Вижте също Функция Математически анализ Сходимост Редица на Коши Граница на функция

Източници

Категория:Математически анализ