В диференциалната геометрия, метричен тензор е вид тензор от 2 ред, позволяващ да се определи скаларното произведение на два вектора във всяка точка от пространството и който се използва за измерването на дължини и ъгли. Обобщава теоремата на Питагор. В дадена координатна система метричният тензор може да бъде представен като матрица .
Базови координати вектори Разглеждат се два произволни вектора в координатна система:
, където са ортогонални базови вектори.
За удобство се използва съкратен вариант на записване:
A = (A1; A2; A3) B = (B1; B2; B3)
Може да се направи такова записване и за базовите вектори: e1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3 = (0; 0; 1):
В тензорния анализ се използват множество съкращения при записване на изразите за сумиране и умножение.
Едно от най-ползваните означения е символа на Кронекер – (делта):
ако i =j, ако
В сила е и следното записване на коефициентите на Кронекер:
Ако се ползва горен индекс се получава:
В случай на ортогонална координатна система с единични вектори има следната формула: , където m; n = 1; 2; 3
Реципрочни базови вектори Разглежда се координатна система с базови вектори:
Приема се, че те не са нито ортогонални, нито единични.
Всеки вектор А в това пространство може да бъде представен като произведение на координатите със съответните базови вектори:
Разглежда се реципрочна базова координатна система. Тя отговаря на следните условия: Базови вектори:
Втората група от условия налагат да е перпендикулярен на и ,
да е перпендикулярен на равнината, определена от и
и да е перпендикулярен на равнината, определена от и .
Горните изисквания могат да бъдат записани съкратено чрез символа на Кроникер:
, където i,j = 1,2,3
Връзка между базовите вектори и реципрочната база вектори От условията по въвеждането на реципрочната база вектори: се вижда че трябва да е перпендикулярен на и .
Следователно той може да бъде представен като произведение
където е константа, която предстои да бъде определена по-нататък.
Ако последното равенство бъде умножено скаларно с вектора ще се получи обемът на паралелепипеда, зададен от базата .
– обем на паралелепипед, зададен от базовите вектори с общо начало.
Съответно връзката между базата вектори и реципрочната база от вектори е:
Контравариантно и ковариантно представяне на вектор Нека да има база от вектори и съответната реципрочна база от вектори: .
Разглежда се вектор А, за който е в сила следното представяне спрямо
Координатите се наричат контравариантни компоненти на А.
Тяхната стойност се определя от:
Ако представим вектор А в реципрочната координатна система имаме:
Координатите се наричат ковариантни компоненти на А.
Те се определят от равенствата:
Метричен тензор Контравариантното и ковариантното представяне на вектор са различни начини за представяне на един и същи вектор спрямо две реципрочни бази от координатни вектори.
Разглеждат се две бази от координатни вектори и , но в този случай те да не са реципрочни.
Ползвайки същия подход както при реципрочните векторни бази се записва:
скаларните величини: се наричат метрични компоненти на пространството.
Съответно се наричат спрегнати метрични компоненти на пространството.
Представяне на вектор спрямо метричните компоненти на пространството Разглежда се векторът , представен спрямо базата .
От предишните подточки се знае, че
Умножава се:
Ползвайки метричните компоненти на пространството се получава:
Връзката между контраварианните и ковариантните координати на вектор А е:
Външни препратки „Теоретическая физика“ – Л. Д. Ландау, Лифшиц An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering , released by NASA Introduction to Tensor Calculus and Continuum Mechanics A Quick Introduction to Tensor Analysis by R. A. Sharipov
Категория:Тензори Категория:Основни физични концепции Категория:Диференциална геометрия