Числото е математическа константа, ирационално и трансцендентно число, което е основата на натуралните (естествените) логаритми на Непер. Нарича се Неперово число или Ойлерово число. Открито е от Бернули като граница на когато се доближава до безкрайност – израз, който възниква при изчисляване на сложна лихва. Може да се изчисли и като сума от числата на безкрайната редица . Въведено е като число и означение от Ойлер. Ирационални числаζ(3) — ρ — √2 — √3 — √5 — ln 2 — φ,Φ — ψ — α,δ — e — eπ и π Бройна система Означение на числото Двоична 10,101101111110000101010001011001… Десетична 2,7182818284590452353602874713527… Шестнадесетична 2,B7E151628AED2A6A… Шестдесетична 2; 43 05 48 52 29 48 35 … Рационални приближения 8/3; 11/4; 19/7; 87/32; 106/39; 193/71; 1264/465; 2721/1001; 23225/8544 (изчислено в ред на увеличение на точността) Верижна дроб [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …] (Дробта не е периодична. Записана е в линейна нотация.) Числото е една от най-важните константи в математиката. Възниква естествено при описанието на различни процеси в природните и обществените науки.
История Числото се нарича Неперово число в чест на шотландския учен Джон Непер – автор на съчинението „Описание на удивителните таблици на логаритмите“ (1614 г.). Това не е съвсем правилно, тъй като в него логаритъмът на е равен на .
Числото негласно присъства в приложение към превода на английски език на споменатата работа на Непер. В тази работа има само таблица на естествените логаритми, а за числото не е дадено определение. Предполага се, че автор на приложението е английският математик Уилям Оутред. Самото число е получено за първи път от Якоб Бернули през 1690 г. при опит да изчисли границата .
Първото известно използване на тази константа (с друго обозначение) се среща в писмата на Лайбниц до Хюйгенс (около 1691 г.). Буквата първи използва Леонард Ойлер през 1727 г., а първата публикация с тази буква е неговата „Механика, или наука за движението, изложена аналитично“. Поради това числото понякога се нарича Ойлерово число. Смята се, че буквата „“ е избрана в чест на Ойлер (Euler)Sondow, Jonathan – Wolfram Mathworld. "e", Wolfram Research.. Друга възможна причина е, че с нея започва думата „експонента“ (показател).
Дефиниции Числото може да бъде определено по два равносилни начина: като граница на числова редица:
като сума на безкраен числов ред: .
Други определения на числото e
.
Свойства През 1737 г. Ойлер е доказал, че Неперовото число е ирационално, а през 1879 г. Ермит е установил, че то е трансцендентно.
Връзката между Неперовото число и се вижда от формулата на Ойлер:
В математическия анализ особено значение има експоненциалната функция , която съвпада със своята производна:
Още една връзка между числата и се получава при пресмятане на интеграла на Поасон: .
За всяко комплексно число са изпълнени следните равенства: .
Числото се разлага в безкрайна верижна дроб по следния начин:
т.е.
Приложения Сложна лихва Якоб Бернули открива числото през 1685 г. при изучаване на сложната лихва. Нека има 1 лев в банкова сметка с годишна лихва 100 %. Ако сметката се олихвява веднъж годишно, то след изтичане на годината ще има 2 лева. Колко лева ще има в края на годината, ако лихвата се начислява на по-къси интервали (и се натрупва към сметката)? Ако лихвата се начислява веднъж на 6 месеца от годината (по 50 % на шестмесечие), то в края на годината ще получим 2,25 лв. Ако лихвата се начислява ежемесечно (по 100 %: 12 = 8,33 % на месец), то в края на годината ще имаме 2,61 лв. Ако лихвата се начислява ежедневно (по 100 %: 365 = 0,274 % на ден), то в края на годината ще имаме 2,71 лв. Колкото по-често се олихвява сметката, толкова по-голяма сума се получава. Обаче крайният резултат не расте неограничено. Бернули забелязал, че резултатът не надхвърля определена граница, а именно 2,72 лв., към която стойност се приближава паричната сума в края на годината, когато сметката се олихвява все по-често и по-често. Именно тази гранична стойност 2,718281828459045... лв. е Неперовото или Ойлерово число.
Доказателство за ирационалността на числото e Да допуснем противното: че е рационално. Тогава , където е цяло, а е естествено число. Понеже не е цяло число, то . Следователно
Умножаваме по и получаваме
Прехвърляме от другата страна:
Всички събираеми в дясната страна са цели числа, следователно също е цяло (положително) число, затова .
Обаче
, тоест
, което е противоречие.
Първите 200 цифри на числото e
.
Вижте също Натурален логаритъм Експоненциална функция Формула на Ойлер Формула на Моавър Сложна лихва
Източници
Външни препратки Доказателство за транцендентността на числото (planetmath.org, англ.)
Категория:Математически константи Категория:Трансцендентни числа