Многоъгълникът (наричан също полигон) е геометрична фигура, която обикновено се дефинира като затворена начупена линия. Може да се дефинира и като затворена част от равнината, ограничена от начупена линия. Върховете на начупената линия се наричат върхове на многоъгълника, а отсечките от нея – страни на многоъгълника.
Два върха на многоъгълника се наричат съседни, ако те са краища на една от страните му. Отсечките, съединяващи несъседни върхове на многоъгълника, се наричат диагонали.
Геометричното понятие полигон има различно значение в зависимост от сферата, в която се използва. Математиците са заинтересовани предимно от полигони от тип затворена многоъгълна верига и прости полигони, които нямат пресичащи се страни. В повечето случаи за тях думите полигон и изпъкнал многоъгълник са синоними.
Границите на полигона могат и да се самопресичат, създавайки звезден многоъгълник. Геометрично две страни като се срещнат, трябва да образуват ъгъл, който не е изправен (т.е. да е ≠180°). В противен случай сегментните линии може да се считат за части от една права. Математически обаче понякога може да се допуснат такива ъгли. Тези и други обобщения на многоъгълниците са описани по-надолу.
Класификация
Брой на страните Многоъгълниците се класифицират главно по броя на страните им. В зависимост от броя на страните им биват триъгълници, четириъгълници, петоъгълници и т. н. Многоъгълник с n върха се нарича n-ъгълник. Виж таблицата по-надолу.
Изпъкналост и неизпъкналост Многоъгълниците могат да се характеризират с тяхната изпъкналост или типа неизпъкналост: Изпъкнал – многоъгълникът, чиято вътрешност е изпъкнало множество. При него всички вътрешни ъгли са по-малки от 180°. Също така всяка отсечка между два върха остава изцяло вътре или на границата на полигона. Той представлява сечение на няколко полуравнини. Неизпъкнал – при него отсечката между два върха преминава извън границата на полигона. Прост – многоъгълник с плоска форма, състояща се от прави, непресичащи се отсечки или страни, които са свързани по двойки, за да образуват затворен път. Най-простите правилни многоъгълници са равностранният триъгълник и квадратът. Вдлъбнат – неизпъкнал и прост многоъгълник. Има най-малко един вътрешен ъгъл по-голям от 180°. Звездовиден – цялата вътрешност е видима от една точка, без да се пресичат ъглите. Полигонът трябва да бъде прост, може да е изпъкнал или вдлъбнат. Кръстосан – при него някои от краищата му се пресичат. Звезден – при него има свързване на един връх на един прост, обикновен многоъгълник към друг, несъседен връх и продължаване на процеса, докато първоначалният връх е достигнат отново.
Равенство и симетрия Равноъгълен – многоъгълник, при който всички ъгли са равни. Цикличен – многоъгълник, при който всички ъгли лежат на една окръжност. Изогонен – има симетрични върхове, като полигонът е цикличен и с равни ъгли. Равностранен – всичките му страни са с еднаква дължина, но може ъглите да не са еднакви, както и да не е изпъкнал полигон. Тангенциален – изпъкнал многоъгълник с вписана окръжност, която е допирателна до всички страни на многоъгълника. Дъговиден – многоъгълник, който е равностранен и тангенциален, но не всички равностранни полигони са дъговидни. Страните лежат в рамките на една и съща окръжност. Правилен – многоъгълник, който е изогонен и дъговиден. Също така може да е цикличен и равностранен, или равностранен и равноъгълен. Неизпъкналият правилен многоъгълник се нарича правилен звезден многоъгълник.
Смесени Праволинеен – страните на многоъгълника се срещат в прав ъгъл, като всеки един от вътрешните ъгли образува 90° или 270°. Монотонен по отношение на дадена линия L – всяка линия, перпендикулярна на L пресича многоъгълника не повече от два пъти.
Свойства и формули Сборът от ъглите на всеки n-ъгълник е равен на 180°(n-2). Около всеки правилен многоъгълник може да се опише окръжност и във всеки такъв многоъгълник може да се впише окръжност. Правилните изпъкнали n-ъгълници са подобни, а ако страните им са равни, те са еднакви. Броят на диагоналите на всеки многоъгълник е равен на n(n − 3)/2, където n е броят на неговите страни.
Ъгли Всеки многоъгълник има толкова върхове, колкото са страните му. Страните се пресичат във върховете под някакъв ъгъл. От положението на ъгъла спрямо многоъгълника се определя вътрешен или външен е ъгълът. Ъглите се измерват в градуси (бележи се с °) или с радиани, които отчитат каква част е ъгълът от пълна окръжност (която е 2π).
Вътрешен ъгъл Вътрешен ъгъл на изпъкнал многоъгълник при даден връх се нарича ъгълът, образуван от страните, минаващи през този връх, от страната на многоъгълника. Този ъгъл е по-голям от 180° (или 1π), когато многоъгълникът не е изпъкнал. Сумата на вътрешните ъгли на прост n-ъгълник (имащ n страни) е (n – 2)×180° (градуса) или (n – 2)×π (радиани):
Това е така, защото се счита, че всеки n-ъгълник е направен от (n – 2) триъгълници, всеки от които има сума на ъглите от 180° или π радиани.
Знаейки сумата на вътрешните ъгли, може да открием големината на вътрешните ъгли на правилен n-ъгълник (на който всички n страни и ъгли са равни помежду си), като разделим сумата на вътрешните ъгли на техния брой (n):
Вътрешните ъгли на правилния звезден многоъгълник са проучвани за първи път от Луи Поансо в същия документ, в който е описал Многостените на Кеплер-Поансо: за правилен -ъгълник (p-ъгълник с плътност q), всеки вътрешен ъгъл е (градуса) или (радиани).Craig, John (1849). A new universal etymological technological, and pronouncing dictionary of the English language. Oxford University. стр. 404
Външен ъгъл Външният ъгъл е ъгъл, допълващ вътрешния до 180°. Ако сборът на всички вътрешни ъгли в полигона е 360°, то и сборът на всички външни ъгли също ще е 360°. Следователно, ако направим една пълна обиколка около многоъгълника, сборът на външните ъгли също ще е 360°. Такъв е случаят при четириъгълника. В общия случай сумата на външните ъгли на полигон е число кратно на 360°. Външният ъгъл се получава като се извади от 180° вътрешния ъгъл :
Централен ъгъл Централният ъгъл на правилен n-ъгълник е ъгълът образуван между два радиуса на описаната окръжност, свързващи центъра ѝ с два съседни върха, като така разделя самата окръжност на толкова части, колкото са и върховете или:
Така централният ъгъл се получава равен на външния ъгъл за всеки правилен n-ъгълник.
Площ Прости многоъгълници
За несамостоятелно пресичащи се n-ъгълници с n върхове xi, yi (i – от 1 до n) площта S, декартовата координатна система и медицентърът се получават по следния начин:Bourke, Paul (July 1988). "Calculating The Area And Centroid Of A Polygon" (PDF). Посетен на 6 февруари 2013.
където е разстоянието на квадрат между и B.Sz. Nagy, L. Rédey: Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron. Publ. Math. Debrecen 1, 42 – 50 (1949) и
Първият и последният връх на полигона е един и същ, т.е. xn, yn = x0, y0. Върховете трябва да са подредени положително или отрицателно (по посока на часовниковата стрелка или обратно); ако са подредени отрицателно, стойността получена от формулата за площ ще бъде отрицателна, но вярна абсолютна стойност, но когато се изчислява и , стойността на (която в случая е отрицателна) трябва да бъде използвана.Bart Braden (1986) The Surveyor's Area Formula (PDF). The College Mathematics Journal 17 (4): стр. 326 – 337. doi:10.2307/2686282
Площта S на прост многоъгълник може да бъде изчислена, ако дължините на страните и на външните ъгли θ1, θ2, ..., θn са известни от:
Формулата е описана от Лопшит през 1963 г.A.M. Lopshits (1963). Computation of areas of oriented figures. translators: J Massalski and C Mills, Jr. D C Heath and Company: Boston, MA.
Ако многоъгълникът може да обрисува на еднакво разстояние решетка, така че всичките му върхове да са решетъчни точки, теоремата на Пик дава една проста формула за намиране площта на полигона, въз основа на броя на вътрешните и гранични точки на мрежата: първото число + 1/2 от следващото – 1. Дължините на страните на многоъгълника не определят площта му в общия случай.Robbins, „Polygons inscribed in a circle“, American Mathematical Monthly 102, June–July 1995. Но ако полигонът е цикличен, могат да определят площта.
От всички n-ъгълници с дадени страни, с най-голяма площ е цикличният. От всички n-ъгълници с даден периметър, с най-голяма площ е правилният.Chakerian, G. D. „A Distorted View of Geometry.“ Ch. 7 in Mathematical Plums (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: стр. 147.
Всеки многоъгълник с обиколка P и площ S притежава изопериметричното неравенство:
Ако са дадени два прости многоъгълника с еднаква площ, тогава първият може да бъде разделен на многоъгълни парчета, които могат да се съберат, за да се оформи вторият многоъгълник (теорема на Bolyai–Gerwien).
Правилни многоъгълници
Многоъгълници, на който всички страни и ъгли са равни помежду си, са правилни.
Обиколката (периметърът) P на правилен n-ъгълник (с n страни) със страна a е:
Формули за намиране на площта (лицето) S на правилен n-ъгълник при известна страна a и: r – радиус на вписаната окръжност:
R – радиус на описаната окръжност:
многоъгълникът е вписан в единична окръжност (R = 1):
и тригонометрично ( е вътрешният ъгъл):
Сложни многоъгълници Площта на сложните (наричат се още самопресичащи се или кръстосани) многоъгълници може да се определи по два различни начина, всеки от които дава различен отговор: Използвайки горните методите за прости многоъгълници, можем да умножим площта на определени части в рамките на полигона по коефициент, който наричаме плътност. Например централно изпъкнал петоъгълник в центъра на пентаграма има плътност 2. Двете триъгълни части на кръстосаните четириъгълници имат обратно записана плътност и събирайки техните площи може да даде обща площ равна на нула за цялата фигура. Като се имат предвид приложените региони като точкови групи, ние можем да намерим площта на приложената серия от точки. Това съответства на площта на равнината обхваната от многоъгълника, или в площта на един или повече прости многоъгълници, имащи същия контур като на самостоятелно пресичащ се. В случай на кръстосан четириъгълник се разглеждат като два прости триъгълника.
Вписана и описана окръжност
Около всеки правилен многоъгълник може да се опише окръжност и във всеки такъв многоъгълник може да се впише окръжност, като центровете на описаната и вписаната окръжност си съвпадат. Тъй като радиусът на вписаната окръжност свързва общия център с най-близката точка от всяка страна, а радиусът на описаната окръжност – с най-отдалечената точка (върховете на многоъгълника), то радиусът на вписаната окръжност е по-малък от радиуса на описаната окръжност.
Радиусът на вписаната в правилен многоъгълник окръжност се нарича още апотема. Тя свързва центъра на вписаната (и описаната) окръжност със средата на всяка страна под прав ъгъл. Апотемите разделят правилен n-ъгълник на n на брой еднакви делтоида, а радиусите на описаната окръжност към върховете го разделят на n на брой еднакви равнобедрени триъгълници.
Когато n на правилен n-ъгълник е четно число, срещуположните апотеми, както и радиусите на описаната окръжност към върховете на многоъгълника, лежат на една права, а когато е нечетно, продължението на апотемата към срещуположния връх е равно на радиуса на описаната окръжност. Така образуваните прави са оси на симетрия за n-ъгълника и техният брой е също n.
За правилен n-ъгълник със страна a: радиусът R на описаната окръжност е:
радиусът r на вписаната окръжност е:
С увеличаване броя на страните n, радиусите на описаната и вписаната окръжност се сближават, тъй като синус и тангенс от число, клонящо към нула, също клонят към нула. От там следва, че лицата и обиколките на описаната и вписаната окръжност също се сближават, като клонят съответно към лицето и обиколката на самия многоъгълник.
Център на многоъгълник