Многомащабно приближение (, MRA) е главният метод за изграждане на Дискретно уейвлет преобразование с практическо приложение, както и обосновката за алгоритъма за бързото уейвлет преобразование (БВП). Въведено е през 1988/89 от Стефан Малат и Ив Мейе.
Определение Многомащабно приближение в пространството се състои от поредица от вложени едно в друго линейни подпространства
които изпълняват дадени отношения на самоподобие във времевата/пространствената област и мащабната/честотната област, както и пълнота и условия за регулярност.
Самоподобие във времевата област изисква всяко подпространство Vk да бъде инвариантно спрямо транслации с целочислени кратни на 2— k. Другояче казано за всяко съществува , такова че . Самоподобие в мащабната област изисква всички подпространства да са мащабирани във времето копия едно на друго с коефициент на мащабиране съответно 2l—k. С други думи за всяко съществува , такова че . Ако f е с ограничен носител, то носителят на g се смалява, т.е. разделителната способност на l-тото подпространство е по-висока, отколкото на k-тото. Регулярността изисква всяко изначално подпространство V0 да бъде породено от линейната обвивка на целочислените транслации на една или краен брой пораждащи функции или . Тези целочислени транслации трябва да бъдат базис на подпространството . Пораждащите функции се наричат още мащабиращи функции или уейвлети-бащи. В повечето случаи на тях се поставя условие да са отчасти непрекъснати с компактен носител.
Пълнотата изисква вложени едно в друго подпространства да покриват цялото пространство, т.е. обединението им да е навсякъде гъсто в . Освен това се изисква те да не са редундантни, т.е. сечението им да съдържа само нулевия елемент.
Важни заключения В случая на един непрекъснат уейвлет-баща с компактен носител, чиито транслации са ортогонални, могат да се извлекат няколко следствия. Доказателството за съществуването на такъв клас от функции дължим на Ингрид Добеши.
Понеже съществува крайна редица от коефициенти , за и за , такива че
Дефинирайки друга функция, наречена уейвлет-майка или просто уейвлет,
се вижда, че пространството , дефинирано като линейната обвивка на целочислените транслации на уейвлета-майка, е ортогоналното допълващо пространство на V0 в V1. Или по друг начин е ортогоналната сума на W0 и V0. От самоподобието следва, че съществуват мащабирани копия Wк на W0, а от пълнотата, че
Следователно множеството
е изброим пълен ортонормиран базис в .
Вижте също Многомащабно моделиране Мащабно пространство
Литература S.G. Mallat, A Wavelet Tour of Signal Processing, Academic Press, 1999, ISBN 012466606X Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets, (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0585470901 C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0124896009. www.cmap.polytechnique.fr
Категория:Числени методи