В математическия анализ равенството на Ойлер, кръстено на швейцарския математик Ойлер, е , където е неперовото число, основата на естествените логаритми, е имагинерната единица, дефинирана като i2 = −1, е лудолфовото число, отношението между дължината на дадена окръжност и нейния диаметър.
Ойлеровото равенство се счита за забележително заради връзката, която полага, между пет от най-ключовите математически константи: числото 0. числото 1. числото π, което е широко разпространено в тригонометрията, евклидовата геометрия и математическия анализ. числото , основата на естествения логаритъм, широко разпространено в математиката и множество други дялове на науката. И π, и са трансцендентни числа. числото , имагинерната единица в полето на комплексни числа, което съдържа корените на всички възможни многочлени с реални коефициенти, и изследването на които води до редица ключови теореми в областта на алгебрата и математическия анализ.
Обяснение
Равенството на Ойлер е специален случай на формулата на Ойлер от комплексния анализ, която гласи, че за всяко реално число ,
където стойностите на синуса и косинуса са в радиани.
В частност, когато , или един полуоборот (180°) около окръжност:
Тъй като
и
следва, че
което дава равенството на Ойлер:
Категория:Комплексен анализ