mini|300px|desno Skalarni proizvod dva vektora je definiran kao proizvod dužine prvog i drugog vektora i kosinusa ugla između njih. Dobiveni je rezultat skalar. Definicija
Skalarni proizvod vektora sa samim sobom daje kvadrat njegove dužine, jer je u tom slučaju kosinus 0° jednak 1. Skalarni proizvod vektora koji su pod pravim uglom (90°) jednak je 0, jer je kosinus pravog ugla 0.
Skalarni proizvod je komutativan, distributivan i linearan.
Definicija i primjer
Definicija skalarnog proizvoda vektora a = [a1, a2, … , an] i vektora b = [b1, b2, … , bn] :
gdje Σ označava sabiranje po komponentama.
Primjer skalarnog množenja na trodimenzionalnom vektoru [1, 3, −5] i [4, −2, −1]:
Za dva kompleksna kolonska vektora, skalarni proizvod je definisan kao
gdje je
konjugovano kompleksan broj od ; uočite da, u slučaju kompleksnih brojeva, imamo da je
Skalarni proizvod primjenljuje se na vektore iz ortonormalnih vektorskih prostora. Njegova generalizacija na neortonormalne vektorske prostore opisana je ispod.
Geometrijska interpretacija
S obzirom da znamo da je skalarni umnožak i umnožak sa uglom između dva vektora, možemo inverznom operacijom izračunati i ugao.
Dokaz geometrijske intepretacije
Razmotrimo vektor
Uzastopnom upotrebom Pitagorinog teorema dobijamo jegovu dužinu v
Dobijeno je isto kao i
tako da zaključujemo da ćemo, ako skalarno pomnožimo vektor v sa samim sobom, dobiti njegovu dužinu na kvadrat.
Lema 1
Sada razmatrajmo dva vektora a i b koji potiču iz istog ishodišta, a koje odvaja ugao θ. Treće vektor c može se definisati kao
tvoreći trougao sa stranicama a, b i c. Prema kosinusnom teoremu, imamo da je
Zamjenom skalarnog proizvoda za kvadrat dužine prema lemi 1, dobijamo (1) Ali pošto je c ≡ a − b, također imamo da je , što je, prema pravilu distributivnosti, prošireno na (2) Izjednačavanjem dvije c • c jednačine, (1) i (2), dobijamo
Oduzimanjem a • a + b • b sa obje strane i dijeljenjem sa −2 ostavlja nam
Q.E.D. Dokaz kosinusne teoreme 100px|desno Kako je imamo:
Trostruki proizvod
Ova formula pronalazi primjenu u pojednostavljenju vektorskih proračuna u fizici Projekcija vektora na vektor Pomoću skalarnog proizvoda može se izračunati projekcija vektora na vektorprojekcija vektora na vektor tj.
skalarna projekcija vektora na vektor skalarna projekcija vektora na vektor vektorska projekcija vektora na vektor vektorska projekcija vektora na vektor Posljedice skalarnog množenja skalami proizvod a b= 0
ili je bar jedan od vektora () Osobine skalarnog proizvoda
Izvori Dot Product Dot Product Einführung in das Skalarprodukt Reference
Također pogledajte
Vektorski proizvod Vektorski zbir
Reference
Kategorija:Linearna algebra Kategorija:Binarne operacije Kategorija:Članci koji sadrže dokaz Kategorija:Vektori