U matematici, topološka rekurzija je rekurzivna definicija invarijanti spektralnih krivih. Ima primjene u oblastima kao što su enumerativna geometrija, teorija slučajnih matrica, matematička fizika, teorija struna i teorija čvorova.
Uvod Topološka rekurzija je konstrukcija u algebarskoj geometriji.Invariants of algebraic curves and topological expansion, B. Eynard, N. Orantin, math-ph/0702045, ccsd-hal-00130963, Communications in Number Theory and Physics, Vol 1, Number 2, p347-452. Ona uzima kao početne podatke spektralnu krivu: podatke od , gdje je: natkrivanje Rimanovih površi sa tačkama grananja; je meromorfna diferencijalna 1-forma na , regularna u tačkama grananja; je simetrična meromorfna bilinearna diferencijalna forma na koja ima dvostruki pol na dijagonali i nema reziduum.
Topološka rekurzija je zatim rekurzivna definicija beskonačnih nizova simetričnih meromorfnih n-formi na , sa polovima isključivo u tačkama grananja, za cijele brojeve g≥0 takve da je 2g-2+n>0. Definicija predstavlja rekurziju po cijelom broju 2g-2+n.
U mnogim primjenama, n-forma tumači se kao funkcija izvodnica koja mjeri skup površi roda g sa n granica. Rekurzija se vrši po Eulerovim karakteristikama 2g-2+n, odakle i potiče naziv "topološka rekurzija".
mini|alt=Shematski prikaz topološke rekurzije: rekurzivno dodavanje "pari pantalona" za izgradnju površi roda g sa n granica|Shematski prikaz topološke rekurzije: rekurzivno dodavanje "pari pantalona" za izgradnju površi roda g sa n granica.
Porijeklo Topološka rekurzija izvorno potiče iz teorije slučajnih matrica. Jedan od glavnih ciljeva teorije slučajnih matrica jeste pronalaženje asimptotskog razvoja n-točkovnih korelacionih funkcija za velike dimenzije, a u nekim prikladnim slučajevima asimptotski razvoj poprima oblik stepenog reda. n-forma tada predstavlja g-ti koeficijent u asimptotskom razvoju n-točkovne korelacione funkcije. Pokazalo seB. Eynard, Topological expansion for the 1-hermitian matrix model correlation functions, JHEP/024A/0904, hep-th/0407261
A short overview of the ”Topological recursion”, math-ph/arXiv:1412.3286A. Alexandrov, A. Mironov, A. Morozov, Solving Virasoro Constraints in Matrix Models, Fortsch.Phys.53:512-521,2005, arXiv:hep-th/0412205L. Chekhov, B. Eynard, N. Orantin, Free energy topological expansion for the 2-matrix model, JHEP 0612 (2006) 053, math-ph/0603003 da koeficijenti uvijek poštuju istu rekurziju po 2g-2+n. Ideja da se ova univerzalna rekurzivna relacija razmotri izvan teorije slučajnih matrica, te da se promoviše kao definicija invarijanti algebarskih krivih, javila se u radu Eynarda i Orantina 2007. godine, koji su proučavali glavna svojstva tih invarijanti.
Važna primjena topološke rekurzije zabilježena je na Gromov-Wittenovim invarijantama. Marino i BKMPVincent Bouchard, Albrecht Klemm, Marcos Marino, Sara Pasquetti, Remodeling the B-model, Commun.Math.Phys.287:117-178,2009 postavili su hipotezu da su Gromov–Wittenove invarijante torične Calabi-Yau 3-mnogostrukosti zapravo TR invarijante spektralne krive koja predstavlja ogledalo mnogostrukosti .
Od tada, topološka rekurzija generisala je mnogo istraživačke aktivnosti, posebno u enumerativnoj geometriji. Matematičari su također uspostavili vezu sa Giventalovim formalizmom i Frobeniusovim mnogostrukostima.P. Dunin-Barkowski, N. Orantin, S. Shadrin, L. Spitz, "Identification of the Givental formula with the spectral curve topological recursion procedure", Commun.Math.Phys. 328 (2014) 669-700.
Definicija
(Slučaj prostih tačaka grananja. Za grananja višeg reda, pogledajte sekciju Grananja višeg reda ispod)
Za i :
gdje se naziva rekurzivno jezgro (kernel):
a je lokalna Galoisova involucija u blizini tačke grananja , takva da važi . Suma s primom označava isključivanje dva člana i .
Za i :
sa kao bilo kojom primitivnom funkcijom (antiderivacijom) od .
Definicija za i znatno je složenija i može se pronaći u originalnom članku Eynarda i Orantina.
Glavna svojstva
Simetrija: svaka je simetrična -forma na . Polovi: svaka je meromorfna, ima polove isključivo u tačkama grananja, sa iščezavajućim reziduumima. Homogenost: je homogena stepena . Pri promjeni , imamo . Jednačina dilatona: gdje je .
Jednačine petlji: Sljedeće forme nemaju polove u tačkama grananja
gdje je suma bez prima, tj. nijedan član nije isključen.
Deformacije: Forme zadovoljavaju jednačine deformacije. Granične vrijednosti: za datu porodicu spektralnih krivih , čija je granična vrijednost kada singularna kriva, riješena skaliranjem sa stepenom , tada je . Simplektička invarijantnost: U slučaju kada je kompaktna algebarska kriva sa označenom simplektičkom bazom ciklusa, je meromorfna i je meromorfna, te je fundamentalni diferencijal druge vrste normalizovan na oznaci, tada spektralne krive i imaju isto pomaknuto za neke članove. Modularna svojstva: U slučaju kada je kompaktna algebarska kriva sa označenom simplektičkom bazom ciklusa, a je fundamentalni diferencijal druge vrste normalizovan na oznaci, tada su invarijante kvazimodularne forme pod modularnom grupom promjena oznaka. Invarijante zadovoljavaju BCOV jednačine.
Generalizacije
Grananja višeg reda
U slučaju kada tačke grananja nisu proste, definicija je izmijenjena na sljedeći načinV. Bouchard, B. Eynard, "Think globally, compute locally", JHEP02(2013)143. (proste tačke grananja odgovaraju ):
Prva suma odnosi se na particije skupa sa nepraznim dijelovima , dok u drugoj sumi prim označava isključivanje svih članova za koje važi .
se naziva rekurzivno jezgro:
Bazna tačka * integrala u brojiocu može se odabrati proizvoljno u blizini tačke grananja, a invarijante neće zavisiti od nje.
Invarijante topološke rekurzije i presječni brojevi
Invarijante mogu biti zapisane u smislu presječnih brojeva tautoloških klasa:B. Eynard, Invariants of spectral curves and intersection theory of moduli spaces of complex curves, math-ph: arxiv.1110.2949, Journal Communications in Number Theory and Physics, Volume 8, Number 3.
(*) gdje se suma odnosi na dualne grafove stabilnih nodalnih Rimanovih površi ukupnog aritmetičkog roda i glatkih laboliranih označenih tačaka , opremljenih preslikavanjem . je Chernova klasa kotangentnog linijskog svežnja čije je vlakno kotangentna ravan u tački . je -ta Mumfordova kapa-klasa. Koeficijenti , i predstavljaju koeficijente Taylorovog razvoja funkcija i u blizini tačaka grananja na sljedeći način: u blizini tačke grananja (pretpostavljeno proste), lokalna koordinata je . Taylorov razvoj funkcije u blizini tačaka grananja , definiše koeficijente .
Taylorov razvoj za definiše koeficijente 1-formi
čiji je Taylorov razvoj u blizini tačke grananja jednak .
Također se može zapisati Taylorov razvoj za . Ekvivalentno tome, koeficijenti mogu se pronaći iz koeficijenata razvoja Laplaceove transformacije, dok su koeficijenti koeficijenti razvoja logaritma Laplaceove transformacije .
Na primjer, dobijamo
Formula (*) generalizuje ELSV formulu kao i Mumfordovu formulu, te Mariño-Vafa formulu.
Neke primjene u enumerativnoj geometriji
Mirzakhanina rekurzija Rekurzija matematičarke M. Mirzakhani za hiperboličke zapremine prostora modula instanca je topološke rekurzije. Za odabir spektralne krive
n-forma predstavlja Laplaceovu transformaciju Weil-Peterssonove zapremine
gdje je prostor modula hiperboličkih površi roda g sa n geodezijskih granica respektivnih dužina , dok je Weil-Peterssonova forma zapremine.
Topološka rekurzija za n-forme je tada ekvivalentna Mirzakhaninoj rekurziji.
Witten-Kontsevichovi presječni brojevi Za odabir spektralne krive
n-forma je
gdje je Witten-Kontsevichev presječni broj Chernovih klasa kotangentnih linijskih svežnjeva u kompaktificiranom prostoru modula Rimanovih površi roda g sa n glatkih označenih tačaka.
Hurwitzovi brojevi Za odabir spektralne krive
n-forma je
gdje je povezani prosti Hurwitzov broj roda g sa grananjem : broj natkrivanja grananja Rimanove sfere povezanom površi roda g, sa 2g-2+n prostih tačaka grananja i jednom tačkom sa profilom grananja zadanim particijom .
Gromov-Wittenovi brojevi i BKMP konjektura
Neka je torična Calabi-Yau 3-mnogostrukost, sa Kählerovim modulima . Njena ogledalna mnogostrukost je singularna iznad kompleksne ravninske krive zadane polinomijalnom jednačinom , čiji su koeficijenti funkcije Kählerovih modula. Za odabir spektralne krive sa kao fundamentalnim diferencijalom druge vrste na ,
Prema BKMP konjekturi, n-forma je
gdje je
Gromov-Wittenov broj roda g, koji predstavlja broj holomorfnih preslikavanja površi roda g u , sa n granica preslikanih na specijalnu Lagrangijanu podmnogostrukost . je druga klasa relativne homologije slike površi, dok su klase homologije (broj namotavanja) slika granica.
Matematičari su u međuvremenu dokazali BKMP konjekturu.
Reference
Dodatna literatura "Lectures on the topological recursion for Higgs bundles and quantum curves", 2016. (O. Dumitrescu i M. Mulase)
Kategorija:Topologija Kategorija:Algebarska geometrija Kategorija:Matematička fizika Kategorija:Teorija struna