En matemàtiques, un nombre algebraic és un nombre real o complex que és arrel d'un polinomi no nul amb coeficients racionals (o equivalentment enters).
on: , és el grau del polinomi. , els coeficients del polinomi són nombres enters.
El conjunt dels nombres algebraics és numerable i és un subcòs del cos dels nombres complexos.
Classificació dels complexos Si un nombre real o complex no és algebraic, es diu que és transcendent. Si un nombre algebraic és solució d'una equació polinòmica de grau n, i no és solució d'una equació polinòmica de grau menor m < n, llavors es diu que és un nombre algebraic de grau n (n > 0).
Definició formal Considerem un nombre algebraic diferent de 0. El grau () de correspon al grau més baix del polinomi amb coeficients racionals tal que . Seguint aquesta descripció, només hi ha un polinomi mònic de grau que té com a arrel. Aquest rep el nom de polinomi mínim o polinomi irreductible de , i es denota per .
Més generalment, si és una extensió de cossos i , diem que és -algebraic, o algebraic sobre , si existeix un polinomi tal que . En aquest cas, hi ha un únic polinomi mònic de grau mínim amb coeficients a que té com a arrel. Aquest polinomi s'anomena polinomi mínim o polinomi irreductible de , i es denota per .
Exemples Tot nombre racional és algebraic, perquè és arrel del polinomi . El nombre real és algebraic perquè és arrel del polinomi . Més generalment, si és un nombre racional, llavors és un nombre algebraic de grau amb polinomi . El nombre imaginari és algebraic perquè és arrel del polinomi . El nombre d'or és algebraic perquè és arrel del polinomi . En canvi se sap que el nombre π i la constant d'Euler no són algebraics: el matemàtic alemany Ferdinand von Lindemann va demostrar que no existeix cap polinomi de coeficients racionals que els tingui per arrel.
Referències
Bibliografia
Categoria:Teoria de nombres Categoria:Àlgebra abstracta