Un tetràedre o tetraedre (ambdues variants són acceptades) és un políedre que té quatre cares. Amb aquest nombre de cares ha de ser forçosament un políedre convex i les cares han de ser forçosament triangulars. En cadascun dels quatre vèrtexs es troben tres cares i té sis arestes. Hom pot considerar, també, que un tetràedre és una piràmide de base triangular.
Si les quatre cares del tetràedre són triangles equilàters, forçosament iguals entre si, el tetràedre es denomina regular. [Etimologia: Segle XVI: del grec tetraedron, tetra, 'quatre' i edron, 'cara']
El tetràedre és el més simple de tots els políedres convexos, i l'únic que té menys de 5 cares. Com tots els políedres convexos, un tetràedre es pot doblegar a partir d'un full de paper. Admet dos d'aquests desenvolupaments plans.
El tetràedre és el cas tridimensional del concepte més general d'un símplex euclidià.
Donat un tetràedre qualsevol, existeix una esfera (anomenada esfera circumscrita) que passa per tots els vèrtexs del tetràedre, i una altra esfera (l'esfera inscrita) que és tangent a les cares del tetràedre.
Tetràedre regular miniatura|Cinc tetràedres col·locats sobre el pla, amb els seus respectius vèrtexs superiors numerats com 1, 2, 3, 4 i 5. Aquests punts s'han juntat i queda un petit espai entre els tetràedres, allà on no es troben completament els angles de les cinc arestes. Un tetràedre regular és aquell que té per cares quatre triangles equilàters. És un dels cinc sòlids platònics, coneguts des de l'antiguitat.
miniatura|Enrajolat cúbic alternat, combinació d'octàedres i tetràedres No es pot tessel·lar l'espai només amb tetràedres, però si s'alternen amb octàedres regulars, formen l'enrajolat cúbic alternat, que és una tessel·lació.
El tetràedre regular és autodual, la qual cosa significa que el seu dual és un altre tetràedre regular. La composta formada per dos tetràedres duals és un estel octangle, també conegut com a octàedre estelat.
Fórmules per a un tetràedre regular Les següents coordenades cartesianes defineixen els quatre vèrtexs d'un tetràedre amb arestes de longitud 2, centrat a l'origen:
Un altre conjunt de coordenades estan basades en un cub alternat o demicub amb arestes de longitud 2. Aquesta forma té un diagrama de Coxeter-Dynkin i símbol de Schläfli h{4,3}. En aquest cas, el tetràedre té unes arestes de longitud 2. Si s'inverteixen aquestes coordenades, es genera el tetràedre dual, i combinats formen l'octàedre estelat, els vèrtexs del qual són els del cub original. Tetràedre: , , , Tetràedre dual: , , ,
miniatura|Tetràedre regular ABCD i la seva esfera circumscrita Per a un tetràedre regular amb arestes de longitud a: Àrea de les caresÀrea de la superfícieAltura de la piràmideDistància entre arestes oposadesVolumAngle cara-vèrtex-aresta(aprox. 54,7356°)Angle cara-aresta-cara(aprox. 70,5288°)Angle central de les arestes, conegut com angle tetraèdric(aprox. 109,4712°)Angle sòlid en un vèrtex, comprès per una cara(aprox. 0,55129 estereoradians)Radi de l'esfera circumscritaRadi de l'esfera inscrita tangent a les caresRadi de la interesfera tangent a les caresRadi de les exesferesDistància al centre de l'exesfera des del vèrtex oposat
Respecte al pla de la base, el pendent d'una cara (2) és el doble que el d'una aresta (), ja que la distància horitzontal coberta des de la base fins al vèrtex superior al llarg d'una aresta és el doble que al llarg de la mitjana d'una cara. En altres paraules, si C és el baricentre de la base, la distància des de C fins a un vèrtex de la base és el doble que la de C al punt mitjà d'una aresta de la base. Això és una conseqüència del fet que les mitjanes d'un triangle s'intersecten en el seu baricentre, i aquest punt divideix cada mitjana en dos segments, un amb el doble de longitud que l'altre.
Donat un tetràedre regular amb arestes de longitud a, amb una esfera circumscrita de radi R, i distàncies di des d'un punt arbitrari de l'espai tridimensional als seus quatre vèrtexs, es té:
Isometries del tetràedre regular miniatura|Les rotacions pròpies (rotació d'ordre 3 sobre un vèrtex i una cara, i d'ordre 2 sobre dues arestes) i pla de reflexió (a través de dues cares i una aresta) en el grup de simetries del tetràedre regular Els vèrtexs d'un cub es poden agrupar en dos grups de 4, cadascun d'ells formant un tetràedre regular (vegeu més amunt, i també l'animació, que il·lustren un dels dos tetràedres del cub). Les simetries d'un tetràedre regular corresponen a la meitat de les simetries d'un cub: aquelles que envien cada tetràedre a ell mateix, i no a l'altre.
El tetràedre és l'únic sòlid platònic que no es transforma en ell mateix per una simetria central.
El tetràedre regular té 24 isometries, que configuren el grup de simetries Td, [3,3], (*332), isomorf al grup simètric S₄. Es poden classificar de la següent manera: T, [3,3]+, (332) és isomorf al grup alternant A₄ (la identitat i 11 rotacions pròpies) amb les següents classes de conjugació (entre parèntesis es donen les permutacions dels vèrtexs, o corresponentment, les cares, i la representació en quaternions unitaris): identitat (identitat; 1) rotació al voltant d'un eix que passa per un vèrtex, perpendicular al pla oposat, per un angle de ±120°: 4 eixos, 2 per eix, combinats , etc.; rotació per un angle de 180° tal que un eix s'envia a l'eix oposat: , etc.; ) reflexions respecte un pla perpendicular a una aresta: 6 reflexions respecte un pla combinades amb una rotació de 90° al voltant d'un eix perpendicular al pla: 3 eixos, 2 per eix, un total de 6; equivalentment, són rotacions de 90° combinades amb una inversió (que envia x a −x): les rotacions corresponen a les del cub al voltant d'eixos que passen per dues cares oposades
Projeccions ortogonals del tetràedre regular El teteàedre regular té dues projeccions ortogonals especials, una de centrada en un vèrtex (o, equivalentment, en una cara), i una altra de centrada en una aresta. La primera correspon al pla de Coxeter A₂. + Projecció ortogonalCentrada en →Cara/vèrtexAresta Imatge100px100pxSimetriaprojectiva
Secció d'un tetràedre regular miniatura|Una secció central d'un tetràedre regular és un quadrat. Les dues arestes oposades d'un tetràedre regular defineixen un conjunt de plans paral·lels. Quan un d'aquests plans intersecta el tetràedre, la secció resultant és un rectangle. Quan el pla que intersecta està prop d'una de les arestes, el rectangle és llarg i estret. Quan aquest pla es troba a meitat de camí de les dues arestes, la intersecció és un quadrat. La relació d'aspecte del rectangle s'inverteix quan se supera aquest punt mitjà. En aquest punt mitjà on la intersecció és un quadrat, els segments de la secció amb el tetràedre tenen la mateixa longitud, i recorren les quatre cares del tetràedre. Si es bisecta el tetràedre en aquest pla, les dues meitats esdevenen falques. miniatura|Un disfenoide tetragonal, vist ortogonalment a les dues arestes verdes. Aquesta propietat també és certa per als disfenoides tetragonals, quan s'aplica als dos parells d'arestes especials.
Tessel·lació esfèrica El tetràedre també es pot representar com una tessel·lació esfèrica, i projectada sobre el pla mitjançant una projecció estereogràfica. Aquesta projecció és conforme, és a dir, conserva els angles però no les àrees ni les longituds. Les línies rectes sobre l'esfera es projecten com a arcs de circumferència sobre el pla. 160px160pxProjecció ortogràficaProjecció estereogràfica
Altres casos especials
Un tetràedre isòsceles, també anomenat disfenoide, és un tetràedre on les quatre cares són triangles congruents. Si es poden col·locar còpies idèntiques d'un tetràedre de tal manera que ocupin tot l'espai tridimensional (sense deixar espais buits), llavors hom diu que el tetràedre enrajola l'espai.
miniatura|Es pot construir un tetràedre trirrectangular a partir d'un octant coordenat i un pla que talli els tres eixos, com:x>0y>0z>0i x/a+y/b+z/c<1 En un tetràedre trirectangular hi ha un vèrtex on les tres cares incidents formen angles rectes. Si els tres parells d'arestes oposades d'un tetràedre són perpendiculars, llavors hom diu que es tracta d'un tetràedre ortocèntric. Quan només hi ha un parell d'arestes perpendiculars, se l'anomena tetràedre semiortocèntric. Un tetràedre isodinàmic és aquell on les cevianes que uneixen els vèrtexs als incentres de les cares oposades són concurrents, i un tetràedre isogònic té cevianes concurrents que uneixen els vèrtexs cap als punts de contacte de les cares oposades amb l'esfera inscrita del tetràedre.
Isometries dels tetràedres irregulars Les isometries d'un tetràedre irregular (sense etiquetar) depenen de la geometria del tetràedre; hom pot distingir 7 casos. En cada cas, es forma un grup puntual de simetria tridimensional. Poden existir altres dues isometries (C₃, +), i (S₄, [2+,4+]) si s'hi inclou un etiquetatge de les cares o de les arestes. A continuació es llisten els diagrames tetraèdrics per a cada tipus, on les arestes estan acolorides per equivalència isomètrica, i es mantenen en gris en el cas d'arestes úniques. Nom del tetràedreDiagramad'equivalènciad'arestesDescripcióSimetriaSchoen.Cox.Orb.Ord.Tetràedre regular60pxQuatre triangles equilàtersForma el grup de simetria Td, isomorf al grup simètric S₄. Un tetràedre regular té un diagrama de Coxeter-Dynkin i símbol de Schläfli {3,3}.TdT[3,3][3,3]+*332332 2412Piràmide triangular60pxUn triangle equilàter a la base i tres cares iguals formades per triangles isòscelesAdmet 6 isometries, corresponents a les 6 isometries de la base. Vistes com a permutacions dels vèrtexs, aquestes 6 isometries són la identitat 1, (123), (132), (12), (13) i (23), que configuren el grup de simetries C3v, isomorf al grup simètric S₃. Una piràmide triangular té símbol de Schläfli {3}∨( ).C3vC₃ + *3333 63Esfenoide especular60pxDos triangles escalens iguals amb una aresta comuna a la baseAquest cas té dos parells d'arestes iguals (1,3), (1,4) i (2,3), (2,4); la resta d'arestes no són iguals. Les dues úniques simetries són 1 i la reflexió (34), la qual cosa configura el grup Cs, isomorf al grup cíclic Z₂.Cs=C1h=C1v[ ] * 2Tetràedre irregular(sense simetries)60pxQuatre triangles desigualsLa seva única isometria és la identitat, i el grup de simetria és el grup trivial. Un tetràedre irregular té símbol de Schläfli ( )∨( )∨( )∨( ).C1[ ]+11Disfenoides (quatre triangles iguals)Disfenoide tetragonal60pxQuatre triangles isòsceles igualsTé 8 isometries. Si les arestes (1,2) i (3,4) tenen longituds diferents a les altres quatre arestes, llavors les 8 isometries són la identitat 1, les reflexions (12) i (34), les rotacions de 180° (12)(34), (13)(24), (14)(23) i les rotacions impròpies de 90° (1234) i (1432), les quals configuren el grup de simetries D2d. Un disfenoide tetragonal té diagrama de Coxeter-Dynkin i símbol de Schläfli s{2,4}.D2dS₄ [2+,4][2+,4+] 2*22× 84Disfenoide romboïdal60pxQuatre triangles escalens igualsTé 4 isometries: la identitat 1 i les rotacions de 180° (12)(34), (13)(24), (14)(23). Aquest és el grup de Klein V₄ o Z₂², present com el grup puntual D₂. Un disfenoide romboïdal té diagrama de Coxeter-Dynkin i símbol de Schläfli sr{2,2}.D₂ [2,2]+ 2224Disfenoides generalitzats (2 parells de triangles iguals)Disfenoide digonal80px80pxDos parells de triangles isòsceles igualsAixò significa dues arestes oposades (1,2) i (3,4) que són perpendiculars però amb longituds diferents, i llavors les 4 isometries són la identitat 1, les reflexions (12) i (34) i la rotació de 180° (12)(34). El grup de simetries és C2v, isomorf al grup de Klein V₄. Un disfenoide digonal té símbol de Schläfli { }∨{ }.C2vC₂ + *222242Disfenoide fíl·lic80px 80pxDos parells iguals de triangles escalens o isòscelesAquest cas té dos parells d'arestes iguals, (1,3), (2,4) i (1,4), (2,3), però la resta d'arestes són desiguals. Les dues úniques simetries són la identita 1 i la rotació (12)(34), les quals configuren el grup C₂, isomorf al grup cíclic Z₂.C₂ + 22 2
Propietats generals