En matemàtiques, π és la constant d'Arquimedes, una constant que relaciona el diàmetre de la circumferència amb la longitud del seu perímetre.
π és un nombre irracional, és a dir, no es pot expressar de manera fraccionària amb nombres enters. El valor de π és incommensurable. Té un nombre de decimals il·limitat. Per fer càlculs pràctics s'agafa un valor simplificat, com per exemple 3,14159265.
El nombre π, a més d'aparèixer en la fórmula de la longitud de la circumferència, apareix a totes les equacions matemàtiques derivades d'aquesta: la superfície del cercle, la superfície i el volum de l'esfera… i també en nombroses equacions de física.
Història
La història de π transcorre paral·lela al desenvolupament de les matemàtiques com un tot. Alguns autors divideixen el seu desenvolupament en tres períodes: el període antic, durant el qual π es va estudiar des d'un punt de vista geomètric; l'era clàssica, que neix amb el desenvolupament del càlcul infinitesimal a Europa al voltant del ; l'era dels ordinadors digitals.
Període antic miniatura|esquerra|Arquimedes, pintura de Domenico Fetti (1620) Els geòmetres de l'antiguitat, d'Egipte, Babilònia, Índia i Grècia, ja coneixien el fet que la proporció entre el perímetre i el diàmetre és una constant per a totes les circumferències i que és lleugerament més gran que 3. Les aproximacions més antigues conegudes es remunten al 1900 aC; són 25/8 (Babilònia) i 256/81 (Antic Egipte), les dues amb un error de menys de l'1% del valor real. El text indi Shatapatha Brahmana assigna a π el valor 339/108 ≈ 3.139. La Bíblia sembla que suggereixi, en el Primer Llibre dels Reis, que π = 3, d'altra banda una estimació clarament més dolenta que d'altres disponibles a l'època en què es va escriure, cap als 600 aC. La interpretació d'aquest passatge és controvertida.
Arquimedes (287-212 aC) va ser el primer que va fer una estimació de π de forma rigorosa. Va adonar-se que la seva magnitud es pot afitar inferiorment i superiorment a còpia d'inscriure i circumscriure polígons regulars en una circumferència, i calculant els perímetres d'aquests polígons:
350px|center|Pi d'Arquimedes Fent servir l'equivalent a polígons de 96 costats, va demostrar que 223/71 < π < 22/7. Agafant la mitjana d'aquests valors s'obté 3,1419.
Més tard, al , Ptolemeu va fer servir un 360-gon regular i va obtenir un valor de 3.141666...., que és correcte fins a la tercera xifra decimal.
L'any 1116, el matemàtic català Savasorda, en el seu Llibre de geometria, va usar l'aproximació 377/120 que és la mateixa aproximació que havia obtingut Ptolemeu.Llibre de Geometria Savasorda, pàgina XV.
Maimònides, al , afirmà que només es pot conèixer de forma aproximada i que, per tant, el valor de 3 que li assigna la Bíblia era prou exacte per motius religiosos. Alguns han interpretat això com la primera afirmació que és irracional.
El 1299, Ramon Llull, en el seu llibre De quadratura e triangulatura de cercle, afirmà que amb el compàs no es pot mesurar la circumferència. Deixà escrit:"Ramon Llull al s. XXI", Actes de les Jornades Internacionals Lul·lianes, Palma, 1, 2 i 3 d'abril de 2004, Col·lecció Blaquerna, Edicions Universitat Barcelona, 2005 , 9788476329436, pàg. 113
Aquesta conjectura és equivalent a afirmar que és irracional i, a més a més, és un nombre no construïble.
Era clàssica miniatura|Leibnitz retrat de von B. Chr. Francke (1700) El següent avenç essencial en l'estudi de π arribà amb el desenvolupament del càlcul infinitesimal i, en particular, amb el descobriment de les sèries infinites que, en principi, permeten calcular π amb qualsevol precisió desitjada si s'afegeix una quantitat prou gran de termes. Al voltant del 1400, Madhava de Sangamagrama va trobar la primera d'aquestes sèries:
Avui en dia, aquesta sèrie es coneix com la sèrie de Madhava-Leibniz, o la sèrie de Gregory-Leibniz, ja que va ser redescoberta al per James Gregory i Gottfried Leibniz. Desgraciadament, a la pràctica la velocitat de convergència és massa lenta per poder calcular gaire xifres; cal sumar al voltant de 4.000 termes per millorar l'estimació d'Arquimedes. Però, transformant la sèrie en
Madhava fou capaç de calcular π com 3,14159265359, que és correcte en 11 xifres decimals. Aquest record el va batre el matemàtic persa Jamshīd al-Kāshī quan l'any 1424 va determinar 16 decimals de π.
La primera contribució important europea des d'Arquimedes la va fer el matemàtic alemany Ludolph van Ceulen (1540-1610), que va fer servir un mètode geomètric per calcular 35 decimals de π. Estava tan orgullós d'aquest càlcul, tasca a la que va dedicar la major part de la seva vida, que es va fer gravar les xifres a la seva tomba.
Al voltant de la mateixa època, a Europa, van començar a sorgir els mètodes del càlcul infinitesimal, la determinació de sèries infinites i els productes de quantitats geomètriques. La primera representació d'aquesta mena va ser la fórmula de Viète,
miniatura|Leonhard Euler, en un retrat d'Emanuel Handmann (1753) que va trobar François Viète el 1593. Un altre resultat famós és el producte de Wallis,
descobert per John Wallis el 1655. El mateix Isaac Newton va trobar una sèrie per calcular π i va calcular 15 xifres, tot i que més tard va confessar: "Estic avergonyit d'explicar-vos la quantitat de nombres que vaig haver de fer per aquests càlculs, sense tenir altra cosa a fer en aquell temps.""Even Mathematicians Can Get Carried Away" a The New York Times
Es diu que William Jones al llibre A New Introduction to Mathematics (1706) va ser el primer a fer servir la lletra grega π per representar aquesta constant, però aquesta notació es va popularitzar quan la va adoptar Leonhard Euler el 1737. Va escriure:
Era informàtica A principis del , el matemàtic indi Srinivasa Ramanujan va trobar moltes fórmules per calcular π; algunes destaquen per la seva elegància i profunditat matemàtica. Una de les seves fórmules és la sèrie,
També cal destacar la sèrie relacionada formulada pels germans Chudnovsky el 1987,
sèrie que genera 14 xifres per a cada terme. A finals dels 1980, els Chudnovsky van fer servir aquesta fórmula per establir uns quants rècords de càlcul de π, entre ells, el primer càlcul de més de mil milions de xifres decimals, exactament 1.011.196.691 xifres, que establiren el 1989. Continua sent la fórmula que es fa servir en els programaris per a calcular π en els ordinadors personals, però no la dels super ordinadors que s'usen per establir els rècords més actuals.
Mentre que les sèries normalment augmenten la precisió amb una quantitat fixa per a cada terme afegit, hi ha algorismes iteratius que a cada pas "multipliquen" el nombre de xifres correctes. L'any 1975 es va realitzar un progrés significatiu quan Richard Brent i Eugene Salamin, de manera independent l'un de l'altre, van descobrir l'algorisme de Brent-Salamin, que només fa servir aritmètica per doblar el nombre de xifres correctes a cada pas. L'algorisme consisteix a establir
i iterar
fins que an i bn estan prou a prop. Llavors l'estimació de π ve donada per
Fent servir aquest sistema, amb 25 iteracions n'hi ha prou per obtenir 45 milions de decimals correctes. Jonathan i Peter Borwein van trobar un algorisme similar que quadruplica l'exactitud a cada pas.
Més recentment, un important contribució va ser la fórmula de Bailey–Borwein–Plouffe (fórmula BBP), descoberta per Simon Plouffe, anomenada així en honor dels autors de l'article on per primer cop es va publicar la fórmula: Bailey, Borwein i Plouffe.
La fórmula,
és singular perquè permet trobar qualsevol dígit individual hexadecimal o binari de π sense haver de calcular tots els precedents. Entre el 1998 i el 2000, el projecte de computació distribuïda PiHex va fer servir una modificació de la fórmula BBP deguda a Fabrice Bellard (fórmula de Bellard) per calcular el bit de π en posició mil bilions (1015), que va resultar ser 0. El setembre de 2010, un empleat de Yahoo! utilitzà l'aplicació Hadoop en mil ordinadors durant un període de 23 dies per calcular 256 bits de π al bit en posició dos mil bilions (2×1015).
La xifra més gran fins a la data és de 5 bilions de decimals, assolida el 2010 per l'estudiant nord-americà Alexander Yi i l'investigador japonès Shigeru Kondo.
Definició miniatura|esquerra|Perímetre = π × diàmetre En geometria euclidiana, π es defineix com la proporció entre el perímetre (P) d'una circumferència i el seu diàmetre (d) :
El fet que aquesta proporció sigui constant, independentment de la mida de la circumferència, és el que permet que π es pugui definir. Per exemple, si una circumferència té un diàmetre doble que un altre també té doble perímetre, per tant el quocient entre les dues magnituds és el mateix. Això és una conseqüència de les propietats de les figures semblants. Euclides estableix que en les figures semblants totes les distàncies entre els punts homòlegs guarden la mateixa proporció.Vegeu Proposició 20 del llibre VI dels elements d'Euclides. miniatura|Definició de basant-se en l'àrea del quadrat del radi Una forma alternativa de definir π és emprant la proporció entre l'àrea del cercle (A) i l'àrea del quadrat que té els costats de la mateixa longitud que el radi:
Aquesta definició es basa en el fet que les àrees dels cercles són proporcionals als quadrats dels radis. Per exemple, en duplicar el radi l'àrea del seu quadrat es multiplica per 4, però també es multiplica per 4 l'àrea del cercle, de forma que el quocient es manté constant.Proposició 2 del "Llibre XII" dels Elements d'Euclides
Aquestes definicions depenen de la geometria; de fet, en les demostracions es fa servir el cinquè postulat d'Euclides. En geometria no euclidiana les proporcionalitats no es mantenen i el quocient entre el perímetre de la circumferència i el seu diàmetre es modifica en variar el diàmetre.
Per aquest motiu els matemàtics sovint prefereixen definir π sense fer referència a qüestions geomètriques; en comptes d'això, per definir-lo es tria una de les seves propietats analítiques. Una elecció habitual per definir π és: el doble del valor positiu dx per al qual la funció trigonomètrica és cos(x) = 0. En aquest article es donen moltes altres fórmules per calcular π que també es poden fer servir com a definició.
Fórmules relacionades amb π Geometria miniatura|El·lipse amb semieixos a i b. Relacionades amb la circumferència i amb el cercle. Perímetre de la circumferència de radi r: P = 2 π r Àrea del cercle de radi r: A = π r² Angles: 180 graus són equivalents a π radians Relacionades amb l'el·lipse Àrea de l'el·lipse amb semieixos a i b: A = π ab Relacionades amb l'esfera. Volum de l'esfera de radi r: V = (4/3) π r3 Àrea de superfície d'una esfera de radi r: A = 4 π r² Relacionades amb el cilindre. El volum del cilindre d'altura h i radi de la base r és V = r 2 h L'àrea de la superfície del cilindre d'altura h i radi de la base r és A = 2 r 2 + 2 r h Relacionades amb el conus. Volum del conus de radi de la base r i altura h. V = (1/3) r 2 h Àrea de la superfície del conus de radi de la base r i altura h. A = r (r + √ (h 2 + r 2)) Es va descobrir en l'any 1345 a.C
Anàlisi (Fórmula de Leibniz)
(producte de Wallis)
(Euler)
(integral de Gauss)
(Fórmula de Stirling)
(Identitat d'EulerTambé anomenada "La fórmula més important del món")
La representació de π en fracció contínua no presenta cap patró evident:Fraccions contínues de Pi, Enciclopèdia en línia de successions de nombres enters
o
En canvi hi ha fraccions contínues generalitzades de π amb una estructura perfectament regular, com ara:"Pi continued fraction representations (13 formulas)". Una representació de π en fraccions contínues a WolframResearch
miniatura|Càlcul de π pel mètode de Montecarlo
Teoria de nombres La probabilitat que dos nombres triats aleatòriament siguin coprimers és de 6/π².