miniatura|L'arrel quadrada de 2 (la línia dels nombres no està a escala) Larrel quadrada de 2 (o constant pitagòrica) anotada com és definit com l'únic nombre algebraic positiu que, multiplicat per si mateix, dona el nombre 2, altrament dit, √2 × √2 = 2. És un nombre irracional, que té un valor aproximat de: .
El càlcul del valor aproximat de √2 ha estat un problema matemàtic durant segles. Aquesta recerca ha permès perfeccionar els algorismes de càlcul d'extracció d'arrels quadrades. En informàtica, han servit per optimitzar dels algoritmes en la reducció del temps de càlcul i el consum de memòria. La majoria del programari matemàtic, en ordinadors o en màquines de càlcul, utilitzen les aproximacions preestablertes d'aquesta constant, almenys fins a un cert rang
La longitud d'√2 pot ser construïda geomètricament de diverses maneres: per exemple, com la diagonal d'un quadrat de costat la unitat, que és la hipotenusa d'un triangle rectangle isòsceles, val √2 segons el teorema de Pitàgores. miniatura|La hipotenusa d'un triangle rectangle isòsceles de costat 1 val √2 miniatura|Representació numèrica d'√2 miniatura|Amb l'aproximació es pot conèixer un gran nombre de xifres decimals d'aquest número
L'arrel de dos, també és anomenada constant de Pitàgores en honor del filòsof i matemàtic grec Pitàgores (582 aC - 496 aC), va ser estudiada des de fa molt temps pels babilònics, experts en qüestions de segon grau i disposaven d'un algoritme d'aproximació precís. Des de l'Escola de Pitàgores, els grecs del i del segle IV aC l'estudien per tal d'entendre millor la incommensurabilitat, concepte equivalent al d'irracionalitat que es coneix actualment. Van trobar fins a tres demostracions diferents de la irracionalitat del nombre, que van conduir a diversos avenços, com el desenvolupament del raonament per l'absurd, el mètode del descens infinit o l'antifèresi, un algoritme comparable a la fracció contínua actual. Per als grecs, ni les fraccions ni els nombres irracionals són nombres. Aquest pas es va donar pels matemàtics àrabs, en el que va ser l'inici a l'àlgebra.
Aquest nombre intervé en diverses aplicacions de la vida quotidiana: Per les seves propietats geomètriques, és present en un gran nombre d'obres arquitectòniques. Un exemple d'elles és la Sala Hipòstila del Park Güell de Barcelona, obra de l'arquitecte Antoni Gaudí, on la raó entre la distància entre dues columnes no seguides entre la distància de dues columnes consecutives és igual a l'arrel de dos. En astrofísica s'obté que la velocitat mínima que un cos necessita per poder escapar de l'atracció de la gravetat entre la velocitat d'un cos en una òrbita circular és igual a l'arrel de dos. Els fulls de paper de format internacional (ISO 216) tenen una proporció entre la llargària i l'amplada igual a l'√2. En música, la raó entre les freqüències de la Quarta augmentada de l'escala temperada val √2. En electricitat, la tensió màxima del corrent altern monofàsic domèstic val √2 de la tensió eficaç indicada (generalment 110 o 230 V). En fotografia, la sèrie de valors d'obertura del diafragma són valors aproximats d'una progressió geomètrica de raó igual a √2.
Història Període babilònic antic miniatura|La tauleta babilònica d'argila YBC 7289 amb anotacions. A part de mostrar l'arrel quadrada de 2 en sexagesimal (1 24 51 10), la tauleta també dona un exemple en què el costat del quadrat val 30 i la diagonal llavors val 42 25 35. El dígit sexagesimal 30 també pot significar 1/2, en tal cas 42 25 35 és aproximadament 0,7071065 La cultura matemàtica babilònica va ser, sobretot, algorítmica. Disposava d'un sistema de numeració en notació posicional. Algunes tauletes, com la BM 13901, mostren una bona coneixença de les equacions de segon grau, probablement tractades a partir de mètodes geomètrics simples. Per tal de disposar de mètodes de resolució, els babilonis sabien calcular aproximacions d'arrels quadrades. La tauleta YBC 7289, redactat en el primer terç del segon mil·lenni abans de Crist, dona una aproximació de l'arrel de dos, interpretada com la raó entre la diagonal d'un quadrat i el costat, sota la forma següent:. 20px 20px20px20px 20px 20px Aquesta escriptura correspon a la millor aproximació possible d'√2 amb quatre xifres significatives en numeració babilònica (sexagesimal, de base 60).Fowler and Robson, p. 368.Fotografía, ilustración, y descripción de la root(2) tablilla procedente de la "Yale Babylonian Collection" Fotografías de alta resolución y análisis descriptivo de las tablas de la root(2) (YBC 7289) procedente de la "Y"ale Babylonian Collection"
.
L'aproximació és precisa a la mil·lionèssima. Denota la coneixença d'un algoritme d'aproximació de l'arrel quadrada, però s'ignora de quin. Podria tractar-se del mètode d'Heró, encara avui en dia un dels més eficaços.
Una altra aproximació antiga a aquest nombre irracional es dona a l'Antiga Índia en el text matemàtic Baudhaiana-sulba-sutra (d'entre el 600 i el 300 aC) que diu: incrementa la longitud (del costat) per la seva tercera part, i la seva tercera per les seves tres quartes i la seva tercera per la seva trenta-quatrena part de quatre.Henderson És a dir:
Grècia antiga Els matemàtics de l'antiga Grècia van descobrir i demostrar la irracionalitat de l'arrel de 2, en una època que resulta difícil de determinar, a tot tardar en les primeres dècades del segle IV aC i sembla que no abans del . Però ells no el van expressar mai d'aquesta forma, com a nombre √2, sinó com una raó (en el sentit de proporció) entre la diagonal i el costat d'un quadrat. I van mostrar com les dues mesures són incommensurables, és a dir, que no es pot trobar un segment unitat, per petit que sigui, que permeti mesurar de manera exacta les dues magnituds.
El descobriment de la irracionalitat, la data, les circumstàncies que van conduir a ella, les seves conseqüències, la naturalesa de les primeres demostracions,... tot això ha generat molt treball entre els historiadors, però no han estat capaços d'arribar a un consens.
No existeixen evidències arqueològiques anàlogues a les tauletes babilòniques pel cas dels matemàtics de l'Antiga Grècia, però sí que s'han trobat textos transmesos per tradició, per còpia i recòpia. Els més antics que han sortit a la llum daten del . Entre aquestes obres, en què les matemàtiques no són l'objectiu principal, hi trobem els treballs de Plató i els d'Aristòtil.
Plató i Aristòtil En un passatge molt conegut del Menó, Plató posa en escena Sòcrates fent descobrir un jove esclau la duplicació d'un quadrat, mitjançant la construcció d'un quadrat sobre la diagonal de l'original. Sòcrates vol convèncer Ménon que el jove esclau troba un coneixement que ja és en ell mateix (mitjançant la tècnica retòrica coneguda com la maièutica). David Fowler, matemàtic historiador de la matemàtica anglès, data el text al 385 aC i el considera també la primera prova material directa de la pràctica de la matemàtica grega., una traducció al francès del és accessible en línia, vegeu p 173-191.
La primera menció coneguda de la incommensurabilitat és igualment deguda a Plató, en una obra més tardana, el Teetet, on descriu Teodor de Cirene exposant allò que correspon a la irracionalitat de les arrels quadrades dels nombres del 3 al 17 que no són quadrats perfectes., una edició bilingüe del és accessible en línia, vegeu línies 50, 51. Es dedueix d'aquest passatge que la irracionalitat de l'√2 ja era coneguda a l'època en què Plató va escriure, i fins i tot durant els anys en què es creu que Théodore s'hauria dedicat a la docència, les primeres dècades del segle IV aC.
A lOrganon, Aristòtil agafa com a exemple la reducció a l'absurd que el condueix a la incommensurabilitat de la diagonal, remarca que Aristòtil, mentre que cita sovint aquest exemple de la incommensurabilitat de la diagonal, mai no precisa de quin polígon es tracta. i precisa (en dues ocasions) que la hipòtesi de la commensurabilitat condueix al fet contradictori que un nombre parell és igual a un nombre imparell.Aristòtil, Analytiques postérieurs, I,23,41 a 26-32 et I,44,50 a 36-38 citat des de , una edició bilingüe del és accessible en línia I,23 i a I,44. La indicació és poc precisa, però es tracta igualment del primer a tenir una demostració.
Euclides En el llibre Elements, d'Euclides, el primer tractat de matemàtiques que ens ha arribat escrit al voltant de l'any 300 aC, el tractament de la incommensurabilitat ja és bastant elaborat. Aquest tema és definit i tractat en el llibre X, i la proposició 2 en dona caracterització a partir d'un procediment de subtraccions iteratives, lantifèresi, procediment que avui es coneix com l'algorisme d'Euclides (una divisió es pot considerar una sèrie de subtraccions) en l'aritmètica i la fracció contínua en els nombres reals., vegeu també l'entrada de la fracció contínua en l'índex. Una longitud és incommensurable mentre hi hagi residu, el procediment continua indefinidament. La proposició 9 permet establir una relació amb les propietats aritmètiques tractades en els llibres VII i VIII., secció 3.2 Hi ha cap prova general en els llibres aritmètics?. Algunes edicions antigues del llibre X que presenten en un apèndix una proposició (de vegades enumerat 117) que tracta directament de la irracionalitat de l'arrel de dos (de la incommensurabilitat de la raó entre la diagonal d'un quadrat i el seu costat), aportant un argument de paritat i un de descendència infinita. Però aquest article no s'integra en la resta del text, és per això que es creu que ha estat afegit per un interès històric, molt possiblement després d'Euclides. i nota 15 p 52. La proposició es rebutja en l'edició de Heilberg, edició de referència dels Elements, i doncs absenta en el llibre X, en les traduccions realitzades a partir d'ell. Sembla ser posterior a una altra demostració,Vegeu i VII.3 pel detall de l'argumentació: la demostració d'Aphrodise utilitza els Elements, tot i que reposa en el mateix principi, és diferent de la proposició X,117. sempre basant-se en un argument de paritat donat en un dels passatges d'Aristòtil citat aquí sota per Alexandre d'Afrodísies el , nota 15. el més antic i complet que ens ha arribat amb data (de la incommensurabilitat de la diagonal d'un quadrat respecte al seu costat).
Hipòtesis i reconstruccions El que es pot saber sobre el descobriment de la irracionalitat depèn, més enllà dels Elements, dels fragments de textos antics d'autors posteriors, en particular d'una història d'un alumne d'Aristòtil, Eudem de Rodes i més generalment de textos històrics tardans, la fiabilitat dels quals no és bona.
També hi ha diverses teories pel que fa al context i les causes del descobriment de la incommensurabilitat. Pel que fa a les seves primeres manifestacions, els historiadors es limiten a reconstruir-les d'una manera coherent segons coneixements que se suposen d'aquella època. Aquestes reconstruccions especulatives, desenvolupades a finals del i principis del , estan lluny de coincidir i han obert sempre el debat. per veure una història molt sintètica, vegeu també , i
Sobre √2 miniatura|Richard Dedekind proposa una construcció rigorosa dels nombres reals a finals del . La història de l'arrel de dos es confon llavors amb la de l'arrel quadrada i més generalment amb la dels irracionals. Es pot resumir en les següents línies.
Els grecs concebien el que nosaltres anomenem nombres racionals o reals com a proporcions, no com a nombres.Per fer-se una idea dels conceptes de què els grecs disposaven, vegeu: Lien, Wilbur Knorr, Wilbur Richard Knorr , Springer, 1974 , . La feblesa dels conceptes apareix en igualtats com √2 x √3 = √6. Per als grecs, no és demostrable: √2 x √3 designa una proporció entre àrees i √6 no pertany al món de les àrees. El quadrat d'una superfície no existeix per als grecs.