miniatura|Aplicació lògica La lògica és l'estudi dels sistemes de raonament que un ésser racional podria utilitzar per raonar. La lògica s'ocupa de determinar quines formes d'inferència i de demostració són vàlides i quines no, i per tal de fer-ho la noció central que estudia és la de conseqüència lògica. Tradicionalment, la lògica s'ha considerat una branca de la filosofia.
Com a ciència formal, la lògica estudia i classifica l'estructura de les proposicions i els arguments, tant a través de l'estudi de sistemes formals d'inferència com a través de l'estudi directe del raonament en llenguatge natural. Els temes involucrats en aquests estudis inclouen les fal·làcies, les paradoxes, la inducció, la causalitat, el raonament amb probabilitat, el raonament amb vaguetat i imprecisió, entre d'altres.
Antigament, configurava el Trivium en el sistema d'estudis medievals sota el nom de dialèctica i juntament amb la gramàtica i la retòrica. Des de mitjans del , la lògica formal ha esdevingut, a més d'una disciplina filosòfica, una disciplina matemàtica (la lògica matemàtica) que s'ha estudiat amb eines matemàtiques i amb la intenció d'establir una fonamentació per a les matemàtiques. En aquest context, la disciplina s'ha conegut també com a lògica simbòlica. Finalment, la lògica formal s'utilitza en la programació d'algorismes a la informàtica, en el desenvolupament de la computabilitat i l'automàtica, incloent-hi la domòtica, la intel·ligència artificial i les smart cities, per exemple.
Etimologia És un terme que prové del grec clàssic λόγος logos; i que significava paraula, pensament, idea, argument, explicació, raó o principi.
La naturalesa de la lògica Hem dit que el concepte central que estudia la lògica és la relació de conseqüència lògica. Informalment ho podem expressar de diverses maneres. Donat un conjunt de proposicions (les premisses) i una proposició (la conclusió) podem dir que les premisses tenen com a conseqüència lògica la conclusió si aquesta se segueix de les premisses, o si les premisses constitueixen una bona justificació per a la conclusió, o el raonament que comença amb les premisses i acaba amb la conclusió és lògicament vàlid. Aquesta relació s'ha explicat de diverses maneres que, generalment, parteixen d'una mateixa idea bàsica: entre unes premisses i una conclusió hi ha relació de conseqüència lògica si, i només si, no és possible que les premisses siguin vertaderes i, en canvi, la conclusió sigui falsa.
La forma també és una noció central per a la lògica perquè permet estudiar la conseqüència lògica. Ha rebut diversos tractaments. En particular, la lògica simbòlica ho ha fet a través de llenguatges simbòlics, mentre que la lògica tradicional aristotèlico-medieval ho ha fet a través de la sil·logística.
La lògica informal o dialèctica estudia el raonament fet en llenguatge natural sense fer-ne una formalització. Una branca molt significativa és la que es dedica a les fal·làcies. Els diàlegs de PlatóPlato, The Portable Plato, edited by Scott Buchanan, Penguin, 1976, en són un exemple clàssic.
La lògica formal estudia la inferència a través de sistemes formals que fan abstracció del contingut de les proposicions i es fixen només en llur forma. Les primeres regles de lògica formal foren descrites per Aristòtil.Aristotle, The Basic Works, Richard Mckeon, editor, Modern Library, 2001, , especialment, Posterior Analytics. A grans trets, podem dir que a tot sistema formal li correspon determinar un llenguatge (natural o artificial) en què es formulen les proposicions, uns enunciats que es consideren vertaders i que no cal demostrar (els axiomes) i unes regles d'inferència que permeten obtenir nous enunciats a partir d'enunciats ja justificats. Aquells enunciats que es poden demostrar simplement a partir dels axiomes i les regles d'inferència (és a dir, sense l'ús de premisses suplementàries) són els teoremes del sistema.
La lògica simbòlica és la part de la lògica formal que opera només amb llenguatges simbòlics artificials especialment dissenyats per captar només els aspectes formals de la inferència. Vegeu-ne un tractament modern a A. G. Hamilton, Logic for Mathematicians, Cambridge, 1980, Normalment la lògica simbòlica es divideix en dues branques: lògica proposicional o sentencial i lògica de predicats.
La lògica matemàtica és l'extensió de la lògica simbòlica a àrees que, sia perquè tenen una voluntat de fonamentació o sia perquè n'usen mètodes i resultats, són d'interès per (o àdhuc pertanyen a) les matemàtiques o la informàtica, com ara la teoria de models, la teoria de la prova, la teoria de conjunts, i la teoria de la recursió, altrament dita teoria de la computabilitat.
Consistència, correcció i completesa Algunes de les propietats més importants que pot tenir un sistema formal són les següents:
Consistència: el sistema és lliure de contradiccions, és a dir, les proposicions que permet justificar són lògicament compatibles entre si i no és possible derivar cap contradicció.
Correcció: el sistema només permet derivar proposicions que són conseqüència lògica de les premisses que s'han utilitzat en la derivació, és a dir, no permet derivar una proposició falsa a partir de premisses vertaderes. Per tant, si un sistema és correcte i té axiomes vertaders, aleshores tots els teoremes que permet demostrar són també vertaders, i totes les conseqüències que permet derivar de premisses vertaderes també són vertaderes. D'aquesta manera la relació de derivabilitat en un sistema formal correcte és una relació de conseqüència lògica.
Completesa: donat qualsevol conjunt de premisses, el sistema permet derivar totes les proposicions que en són conseqüència lògica.
Val a dir que no tots els sistemes formals gaudeixen d'aquestes tres bones propietats. De fet, els cèlebres treballs de Kurt Gödel mostraren que no hi ha cap sistema útil per a l'aritmètica que sigui a la vegada consistent i complet.
Raonament deductiu i inductiu En tot el que hem dit fins aquí fèiem referència només al raonament deductiu, és a dir, a aquell que estudia la relació de conseqüència lògica entre un conjunt de premisses i una conclusió. Tanmateix, cal tenir en compte que tradicionalment també s'ha considerat un altre tipus de raonament, el raonament inductiu, que típicament deriva generalitzacions acceptables a partir d'observacions empíriques. Aquest altre tipus de raonament també ha estat objecte d'estudi per la lògica. Per tant, cal distingir curosament entre la validesa deductiva i la validesa inductiva. Hem dit que una inferència és deductivament vàlida si, i només si, no és possible que les premisses siguin vertaderes i la conclusió sigui falsa. Així, la inferència deductiva o conseqüència lògica rep un tractament purament semàntic. La validesa inductiva, en canvi, requereix aclarir què és una generalització acceptable a partir d'un conjunt d'observacions empíriques. Aquest concepte s'ha intentat elucidar des de diversos punts de vista, alguns més formals que d'altres, i de vegades han donat lloc a definicions que involucren models probabilístics.
Concepcions diferents de la lògica Com hem vist fins ara, la lògica va sorgir de la preocupació per la correctesa de l'argumentació. Els lògics moderns normalment volen assegurar-se que la lògica estudia tan sols aquells arguments que es desprenen de formes generals apropiades d'inferència. Així doncs, per exemple, l'Enciclopèdia Stanford de Filosofia diu de la lògica que no cobreix, tanmateix, la totalitat dels bons raonaments. Aquesta és la tasca de la racionalitat. Més aviat, la lògica tracta amb inferències de les quals es pot determinar l'origen de la seva validesa en les característiques formals de les representacions que estan involucrades en aquesta inferència, sigui aquesta lingüística, mental, o d'un altre tipus.[Logic] "does not, however, cover good reasoning as a whole. That is the job of the theory of rationality. Rather it deals with inferences whose validity can be traced back to the formal features of the representations that are involved in that inference, be they linguistic, mental, or other representations".
Com a contrast, Immanuel Kant va argumentar que la lògica s'hauria de concebre com a ciència del judici, una idea recollida en les obres lògiques i filosòfiques de Gottlob Frege, on el pensament (en alemany: gedanke) se substitueix pel judici (en alemany: urteil). Seguint aquesta concepció, les inferències lògiques vàlides se seguirien de les característiques estructurals del judici o dels pensaments.
Història L'origen de la lògica, en la tradició filosòfica occidental, es remunta al , quan Aristòtil la posa com a base del seu sistema filosòfic, per ser una matèria indispensable per a qualsevol altra ciència. Encara que tal com va ser concebuda pel savi grec era bastant rígida, va romandre inalterada fins al . Encara que Leibniz (1646 - 1716) li donà un cert impuls, dins una postura conservadora, va ser Boole (nat el 2 de novembre de 1815 a Lincoln, Lincolnshire, Anglaterra-mort el 8 de desembre de 1864 a Ballintemple, County Cork, Irlanda) qui, amb alguns altres, començà a relacionar-la directament amb les matemàtiques.
La lògica contemporània, tal com s'entén avui, va sorgir dels treballs de Frege (1848 -1925) i Peano (1858 - 1932). Aquests treballs es veieren com la culminació del procés de formalització de les matemàtiques, començada per Isaac Newton i Leibnitz, creadors del càlcul infinitesimal, que després desenvoluparien Cauchy (1789 – 1857), i Gauss (1777 – 1855), entre d'altres, que cada vegada abastava conceptes més generals i abstractes.
Dedekind (1831 – 1916), Riemann (1826– 1866), Weierstrass (1815 – 1897) sistematitzaren les matemàtiques fins al punt de mostrar que es podien construir essencialment a partir dels nombres naturals, i els conceptes fonamentals de la teoria de conjunts.
L'obra de Frege i Peano havia de ser la culminació d'aquest procés: provaren de donar regles precises per determinar completament la labor del matemàtic, bo i explicitant tant els punts de partida com els mètodes per deduir nous resultats. Si només hagués estat així, la Lògica seguiria essent una curiositat reservada als matemàtics amb inclinacions filosòfiques, però a finals del Georg Cantor creà i desenvolupà la part més general i abstracta de la matemàtica moderna: la teoria de conjunts.
No va passar gaire temps fins que el mateix Cantor, i d'altres, descobriren contradiccions a la teoria de conjunts. L'exemple més simple fou trobat per Bertrand Russell: segons la teoria de Cantor es pot parlar de qualsevol conjunt d'objectes si s'especifiquen els seus elements sense ambigüitat. Per tant, podem considerar el conjunt R, els elements del qual són exactament aquells conjunts que no són elements d'ells mateixos. Per tant, si R és un element d'ell mateix, per definició, no podria ser-ho, i viceversa. Resulta que R no pot pertànyer a ell mateix com a element ni no fer-ho. Tot això contradiu la lògica més elemental. Es podria pensar que això no és més que una ximpleria, però el que passa és que contradiccions similars afecten conjunts no tan artificials i recercats com el conjunt R.
La primera mostra de la importància de la Lògica fou un fracàs estrepitós. Frege havia creat un sistema que pretenia regular qualsevol raonament matemàtic. Russell observà que la paradoxa esmentada podia ser provada seguint el sistema de Frege, així com qualsevol afirmació, la qual cosa tornava aquestes regles totalment inútils. Amb el temps sorgiren substituts als treballs de Frege. El primer va ser els Principia Mathematica de Whitehead (1861 – 1947) i Russell, de gran complexitat lògica. Després vindrien les teories de conjunts de Zermelo-Fraenkel (ZF), i de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). Ambdues permeten deduir tots els teoremes matemàtics a partir dels seus principis bàsics (axiomes), sense que, fins ara, s'hagi trobat cap contradicció.
Temes Lògica sil·logística