En anàlisi complexa, el teorema dels residus, de vegades anomenat teorema dels residus de Cauchy, és una eina poderosa per avaluar integrals de línia de funcions analítiques sobre corbes tancades; sovint es pot utilitzar per calcular integrals reals i també sèries infinites. Generalitza el teorema integral de Cauchy i la fórmula integral de Cauchy. El teorema dels residus no s'ha de confondre amb casos especials del teorema de Stokes generalitzat; tanmateix, aquest últim es pot utilitzar com a ingredient de la seva demostració.
Enunciat del teorema dels residus de Cauchy La declaració és la següent: miniatura|Il·lustració de l'entorn Teorema del residu: Sigui 𝑈 un subconjunt obert simplement connectat del pla complex que conté una llista finita de punts i una funció 𝑓 holomorfa en 𝑈0.
La relació del teorema dels residus amb el teorema de Stokes ve donada pel teorema de la corba de Jordan. La corba plana general primer s'ha de reduir a un conjunt de corbes tancades simples.
el total del qual és equivalent a per a fins d'integració; això redueix el problema a trobar la integral de al llarg d'una corba de Jordan amb interior El requisit que ser holomorf en és equivalent a l'afirmació que la derivada exterior en Així, si dues regions planes i de tanquen el mateix subconjunt de les regions i definida completament en per tant
està ben definit i igual a zero. En conseqüència, la integral de contorn de
al llarg és igual a la suma d'un conjunt d'integrals al llarg de camins cadascuna tancant una regió arbitràriament petita al voltant d'una sola — els residus de (fins al factor convencional a Sumant recuperem l'expressió final de la integral de contorn en termes dels nombres d'enrotllament
Per avaluar integrals reals, el teorema dels residus s'utilitza de la manera següent: l'integrand s'estén al pla complex i es calculen els seus residus (cosa que normalment és fàcil), i una part de l'eix real s'estén a una corba tancada adjuntant un semicercle al semipla superior o inferior, formant un semicercle. La integral sobre aquesta corba es pot calcular llavors utilitzant el teorema dels residus. Sovint, la part del semicercle de la integral tendirà cap a zero a mesura que el radi del semicercle creix, deixant només la part de l'eix real de la integral, la que ens interessava originalment.
Referències
Residus Categoria:Càlcul integral