miniatura|Un mapa conforme que actua sobre una malla rectangular. Cal tenir en compte que es manté l'ortogonalitat de la malla corba. En matemàtiques, les coordenades ortogonals es defineixen com un conjunt de coordenades en què el sistema de coordenades es troben totes en angle recte (tingueu en compte que els superíndexs són índexs, no exponents). Una superfície de coordenades per a una coordenada particular és la corba, superfície o hipersuperfície en què és una constant. Per exemple, les coordenades cartesianes tridimensionals són un sistema de coordenades ortogonals, ja que les seves superfícies de coordenades constant, constant i constant són plans que es troben en angle recte entre si, és a dir, són perpendiculars. Les coordenades ortogonals són un cas especial però extremadament comú de coordenades curvilínies.
Motivació Mentre que les operacions vectorials i les lleis físiques normalment són més fàcils de derivar en coordenades cartesianes (amb eixos ortogonals i rectes), les coordenades ortogonals curvilínies s'utilitzen sovint per a la solució de diversos problemes, especialment problemes de valors de frontera, com ara els que sorgeixen en teories de camp de la mecànica quàntica, el flux de fluids, l'electrodinàmica, la física del plasma i la difusió d'espècies químiques o la calor.
El principal avantatge de les coordenades no cartesianes és que es poden triar per coincidir amb la simetria del problema. Per exemple, l'ona de pressió deguda a una explosió lluny del terra (o altres barreres) depèn de l'espai 3D en coordenades cartesianes, però la pressió s'allunya predominantment del centre, de manera que en coordenades esfèriques el problema esdevé gairebé unidimensional (ja que l'ona de pressió depèn dominantment només del temps i de la distància des del centre). Un altre exemple és el fluid (lent) en una canonada circular recta: en coordenades cartesianes, cal resoldre un problema de valor límit bidimensional (difícil) que implica una equació diferencial parcial, però en coordenades cilíndriques el problema esdevé unidimensional amb una equació diferencial ordinària en lloc d'una equació diferencial parcial.
La raó per preferir les coordenades ortogonals en lloc de les coordenades curvilínies generals és la simplicitat: sorgeixen moltes complicacions quan les coordenades no són ortogonals. Per exemple, en coordenades ortogonals, molts problemes es poden resoldre mitjançant la separació de variables. La separació de variables és una tècnica matemàtica que converteix un problema complex d- dimensional en problemes d unidimensionals que es poden resoldre en termes de funcions conegudes. Moltes equacions es poden reduir a l'equació de Laplace o a l'equació de Helmholtz. L'equació de Laplace és separable en 13 sistemes de coordenades ortogonals (els 14 que figuren a la taula següent amb l'excepció del toroïdal), i l'equació de Helmholtz és separable en 11 sistemes de coordenades ortogonals.
Les coordenades ortogonals mai tenen termes fora de la diagonal en el seu tensor mètric. En altres paraules, la distància quadrada infinitesimal ds² sempre es pot escriure com una suma escalada dels desplaçaments de coordenades infinitesimals al quadrat:
on d és la dimensió i les funcions d'escalat (o factors d'escalat):
igual a les arrels quadrades dels components diagonals del tensor mètric, o les longituds dels vectors de base locals es descriu a continuació. Aquestes funcions d'escalat h i s'utilitzen per calcular operadors diferencials en les noves coordenades, per exemple, el gradient, el laplacià, la divergència i el rotacional.
Un mètode senzill per generar sistemes de coordenades ortogonals en dues dimensions és mitjançant una aplicació conforme d'una malla bidimensional estàndard de coordenades cartesianes . Es pot formar un nombre complex z = x + iy a partir de les coordenades reals x i y, on i representa la unitat imaginària. Qualsevol funció holomorfa w = f ( z) amb derivada complexa diferent de zero produirà una aplicació conforme; si el nombre complex resultant s'escriu , aleshores les corbes de constants u i v s'intersequen en angle recte, tal com ho feien les línies originals de constants x i y.
Les coordenades ortogonals en tres dimensions i superiors es poden generar a partir d'un sistema de coordenades bidimensional ortogonal, ja sigui projectant-lo a una nova dimensió ( coordenades cilíndriques) o girant el sistema bidimensional al voltant d'un dels seus eixos de simetria. Tanmateix, hi ha altres sistemes de coordenades ortogonals en tres dimensions que no es poden obtenir projectant o girant un sistema bidimensional, com ara les coordenades el·lipsoïdals. Es poden obtenir coordenades ortogonals més generals començant amb algunes superfícies de coordenades necessàries i considerant les seves trajectòries ortogonals.
Vectors bàsics Base covariant En coordenades cartesianes, els vectors base són fixos (constants). En el context més general de les coordenades curvilínies, un punt a l'espai s'especifica mitjançant les coordenades, i a cada punt hi ha un conjunt de vectors base, que generalment no són constants: aquesta és l'essència de les coordenades curvilínies en general i és un concepte molt important. El que distingeix les coordenades ortogonals és que, tot i que els vectors base varien, sempre són ortogonals entre si. En altres paraules,
Aquests vectors base són per definició els vectors tangents de les corbes obtingudes variant una coordenada, mantenint les altres fixes: miniatura|Visualització de coordenades ortogonals 2D. Es mostren les corbes obtingudes mantenint constants totes les coordenades excepte una, juntament amb els vectors de base. Cal tenir en compte que els vectors de base no tenen la mateixa longitud: no cal que ho siguin, només cal que siguin ortogonals.
on r és un punt i q i és la coordenada per a la qual s'extreu el vector base. En altres paraules, una corba s'obté fixant totes les coordenades menys una; la coordenada no fixada es varia com en una corba paramètrica, i la derivada de la corba respecte al paràmetre (la coordenada variable) és el vector base per a aquesta coordenada.
Tingueu en compte que els vectors no necessàriament tenen la mateixa longitud. Les funcions útils conegudes com a factors d'escala de les coordenades són simplement les longituds dels vectors de base (vegeu la taula següent). Els factors d'escala de vegades s'anomenen coeficients de Lamé, que no s'han de confondre amb els paràmetres de Lamé (mecànica de sòlids).
Els vectors de base normalitzats es representen amb un barret i s'obtenen dividint-los per la longitud:
Un camp vectorial es pot especificar pels seus components respecte als vectors de base o als vectors de base normalitzats, i cal estar segur de quin cas es tracta. Els components de la base normalitzada són més comuns en aplicacions per a la claredat de les quantitats (per exemple, es pot voler tractar amb la velocitat tangencial en lloc de la velocitat tangencial multiplicada per un factor d'escala); en derivacions, la base normalitzada és menys comuna, ja que és més complicada.
Base contravariant Els vectors base que es mostren a dalt són vectors base covariants (perquè "covarien" amb els vectors). En el cas de coordenades ortogonals, els vectors base contravariants són fàcils de trobar, ja que estaran en la mateixa direcció que els vectors covariants però de longitud recíproca (per aquest motiu, es diu que els dos conjunts de vectors base són recíprocs entre si):
això es dedueix del fet que, per definició, , utilitzant el delta de Kronecker. Tingueu en compte que:
Ara ens trobem amb tres conjunts de bases diferents que s'utilitzen habitualment per descriure vectors en coordenades ortogonals: la base covariant ei , la base contravariant ei i la base normalitzada ê i. Tot i que un vector és una quantitat objectiva, és a dir , la seva identitat és independent de qualsevol sistema de coordenades, els components d'un vector depenen de la base en què es representa el vector.
Per evitar confusions, els components del vector x respecte a la base ei es representen com a x i, mentre que els components respecte a la base ei es representen com a x i :
La posició dels índexs representa com es calculen els components (els índexs superiors no s'han de confondre amb l'exponenciació). Cal tenir en compte que sovint s'ometen els símbols de suma Σ (Sigma majúscula) i el rang de suma, que indica la suma sobre tots els vectors base (i = 1, 2,..., d). Els components estan relacionats simplement per:
No hi ha cap notació generalitzada distintiva que s'utilitzi per als components vectorials respecte a la base normalitzada; en aquest article utilitzarem subíndexs per als components vectorials i tindrem en compte que els components es calculen en la base normalitzada.
Àlgebra vectorial L'addició i la negació de vectors es fan component per component igual que en les coordenades cartesianes sense cap complicació. Pot ser necessari tenir en compte altres aspectes per a altres operacions vectorials.
Cal tenir en compte, però, que totes aquestes operacions assumeixen que dos vectors d'un camp vectorial estan lligats al mateix punt (en altres paraules, les cues dels vectors coincideixen). Com que els vectors base generalment varien en coordenades ortogonals, si s'afegeixen dos vectors les components dels quals es calculen en diferents punts de l'espai, cal tenir en compte els diferents vectors base.
Producte escalar El producte escalar en coordenades cartesianes (espai euclidià amb un conjunt de bases ortonormals) és simplement la suma dels productes de components. En coordenades ortogonals, el producte escalar de dos vectors x i y pren aquesta forma familiar quan els components dels vectors es calculen en la base normalitzada:
Això és una conseqüència immediata del fet que la base normalitzada en algun punt pot formar un sistema de coordenades cartesianes: el conjunt de bases és ortonormal.
Per a components de les bases covariants o contravariants,
Això es pot derivar fàcilment escrivint els vectors en forma de components, normalitzant els vectors de base i fent el producte escalar. Per exemple, en 2D:
on s'ha utilitzat el fet que les bases covariants i contravariants normalitzades són iguals.
Producte vectorial El producte vectorial en coordenades cartesianes 3D és:
La fórmula anterior continua sent vàlida en coordenades ortogonals si els components es calculen en la base normalitzada.
Per construir el producte vectorial en coordenades ortogonals amb bases covariants o contravariants, simplement hem de normalitzar els vectors de base, per exemple:
que, escrit expandit,
Una notació concisa per al producte vectorial, que simplifica la generalització a coordenades no ortogonals i dimensions superiors, és possible amb el tensor de Levi-Civita, que tindrà components diferents de zeros i unitats si els factors d'escala no són tots iguals a un.
Taula de coordenades ortogonals bidimensionals SistemaTransformació complexaForma de i isolíniesComentariCartesiàlínia, líniaLog-polarcercle, líniaper esdevé PolarParabòlicaparàbola, paràbolaDipol puntualcercle, cercleEl·lípticel·lipse, hipèrbolacamp d'una agulla, sembla logpolar per a grans distànciesBipolarcercle, cercleapareix com un dipol puntual per a grans distàncieshipèrbola, hipèrbolacamp d'una vora interiorel·lipse, paràbola
Taula de coordenades ortogonals tridimensionals A més de les coordenades cartesianes habituals, a continuació se'n tabulen 13 més.Vector Analysis (2nd Edition), M.R. Spiegel, S. Lipschutz, D. Spellman, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), 2009,