miniatura|Coordenades curvilínies (a dalt), afins (dreta) i cartesianes (esquerra) en un espai bidimensional En geometria, les coordenades curvilínies són un sistema de coordenades per a l'espai euclidià en què les línies de coordenades poden ser corbes. Aquestes coordenades es poden derivar d'un conjunt de coordenades cartesianes mitjançant una transformació que és localment invertible (un mapa d'un a un) a cada punt. Això significa que es pot convertir un punt donat en un sistema de coordenades cartesianes a les seves coordenades curvilínies i viceversa. El nom de coordenades curvilínies, encunyat pel matemàtic francès Lamé, deriva del fet que les superfícies de coordenades dels sistemes curvilinis són corbes.
Exemples ben coneguts de sistemes de coordenades curvilínies en un espai euclidià tridimensional (R3) són les coordenades cilíndriques i esfèriques. Una superfície de coordenades cartesianes en aquest espai és un pla de coordenades; per exemple, z = 0 defineix el pla x-y. En el mateix espai, la superfície de coordenades r = 1 en coordenades esfèriques és la superfície d'una esfera unitària, que és corba. El formalisme de les coordenades curvilínies proporciona una descripció unificada i general dels sistemes de coordenades estàndard.
Les coordenades curvilínies s'utilitzen sovint per definir la ubicació o la distribució de quantitats físiques que poden ser, per exemple, escalars, vectors o tensors. Les expressions matemàtiques que impliquen aquestes quantitats en el càlcul vectorial i l'anàlisi tensorial (com ara el gradient, la divergència, el rotacional i el laplacià) es poden transformar d'un sistema de coordenades a un altre, d'acord amb les regles de transformació per a escalars, vectors i tensors. Aquestes expressions esdevenen vàlides per a qualsevol sistema de coordenades curvilínies.
Un sistema de coordenades curvilínies pot ser més senzill d'utilitzar que el sistema de coordenades cartesianes per a algunes aplicacions. El moviment de les partícules sota la influència de forces centrals sol ser més fàcil de resoldre en coordenades esfèriques que en coordenades cartesianes; això és cert per a molts problemes físics amb simetria esfèrica definida a R3. Les equacions amb condicions de contorn que segueixen superfícies de coordenades per a un sistema de coordenades curvilínies particular poden ser més fàcils de resoldre en aquest sistema. Si bé es podria descriure el moviment d'una partícula en una caixa rectangular utilitzant coordenades cartesianes, és més fàcil descriure el moviment en una esfera amb coordenades esfèriques. Les coordenades esfèriques són els sistemes de coordenades curvilínies més comuns i s'utilitzen en ciències de la Terra, cartografia, mecànica quàntica, relativitat i enginyeria.
Coordenades curvilínies ortogonals en 3 dimensions Coordenades, base i vectors miniatura|Fig. 1 - Superfícies de coordenades, línies de coordenades i eixos de coordenades de coordenades curvilínies generals. Per ara, considerem l'espai tridimensional. Un punt P en un espai tridimensional (o el seu vector de posició r ) es pot definir utilitzant coordenades cartesianes (x, y, z) [equivalentment escrites (x1, x2, x3)], per , on e x, e y, e z són els vectors de base estàndard.
També es pot definir per les seves coordenades curvilínies ( q1 , q2, q3 ) si aquest triplet de nombres defineix un sol punt de manera inequívoca. La relació entre les coordenades ve donada per les funcions de transformació invertibles: miniatura|Fig. 2 - Superfícies de coordenades, línies de coordenades i eixos de coordenades de coordenades esfèriques. Superfícies: r - esferes, θ - cons, Φ - semiplans; Línies: r - bigues rectes, θ - semicercles verticals, Φ - cercles horitzontals; Eixos: r - bigues rectes, θ - tangents a semicercles verticals, Φ - tangents a cercles horitzontals
Les superfícies q1 = constant, q2 = constant, q3 = constant s'anomenen superfícies de coordenades; i les corbes espacials formades per la seva intersecció en parells s'anomenen corbes de coordenades. Els eixos de coordenades es determinen per les tangents a les corbes de coordenades a la intersecció de tres superfícies. En general, no són direccions fixes a l'espai, com passa amb les coordenades cartesianes simples, i per tant generalment no hi ha una base global natural per a les coordenades curvilínies.
En el sistema cartesià, els vectors de base estàndard es poden derivar de la derivada de la ubicació del punt P respecte a la coordenada local
L'aplicació de les mateixes derivades al sistema curvilini localment al punt P defineix els vectors de base naturals:
Una base d'aquest tipus, els vectors de la qual canvien la seva direcció i/o magnitud de punt a punt, s'anomena base local. Totes les bases associades amb coordenades curvilínies són necessàriament locals. Els vectors de base que són iguals en tots els punts són bases globals, i només es poden associar amb sistemes de coordenades lineals o afins.
Per a aquest article, e es reserva per a la base estàndard (cartesiana) i h o b és per a la base curvilínia.
Aquests poden no tenir longitud unitària, i també poden no ser ortogonals. En el cas que siguin ortogonals en tots els punts on les derivades estan ben definides, definim els coeficients de Lamé (segons Gabriel Lamé) per
i els vectors de base ortonormals curvilinis per
Aquests vectors de base poden dependre de la posició de P ; per tant, cal que no se suposa que siguin constants sobre una regió. (Tècnicament formen una base per a l'espai tangent de a P, i per tant són locals a P.)
En general, les coordenades curvilínies permeten que els vectors de base natural h i no siguin tots mútuament perpendiculars entre si, i no cal que tinguin una longitud unitària: poden ser de magnitud i direcció arbitràries. L'ús d'una base ortogonal fa que les manipulacions vectorials siguin més senzilles que per a les no ortogonals. Tanmateix, algunes àrees de la física i l'enginyeria, en particular la mecànica de fluids i la mecànica del continu, requereixen bases no ortogonals per descriure deformacions i transport de fluids per tenir en compte les dependències direccionals complicades de les quantitats físiques. Una discussió del cas general apareix més endavant en aquesta pàgina.
Càlcul vectorial Elements diferencials En coordenades curvilínies ortogonals, com que el canvi diferencial total en r és
així que els factors d'escala són
Bases covariants i contravariants miniatura|Un vector v (vermell) representat per • una base vectorial (groc, esquerra: e1, e2 , e3), vectors tangents a les corbes de coordenades (negre) i • una base o cobase covectorial (blau, dreta: e1, e2, e3), vectors normals a les superfícies de coordenades (gris) en coordenades curvilínies generals (no necessàriament ortogonals (q1 , q2, q3). La base i la cobase no coincideixen tret que el sistema de coordenades sigui ortogonal. Els gradients espacials, les distàncies, les derivades temporals i els factors d'escala estan interrelacionats dins d'un sistema de coordenades mitjançant dos grups de vectors base:
vectors de base que són localment tangents a la seva línia de trajectòria de coordenades associada: són vectors contravariants (denotats per índexs reduïts), i vectors de base que són localment normals a la isosuperfície creada per les altres coordenades: són vectors covariants (denotats per índexs elevats), ∇ és l'operador del.
En conseqüència, un sistema de coordenades curvilínies general té dos conjunts de vectors base per a cada punt: {b1, b2, b3} és la base contravariant, i {b1, b2, b3} és la base covariant (també coneguda com a recíproca). Els tipus de vectors base covariant i contravariant tenen una direcció idèntica per als sistemes de coordenades curvilínies ortogonals, però com és habitual, tenen unitats invertides entre si.
Tingueu en compte la següent igualtat important: en què denota el delta de Kronecker generalitzat.
Integració Construint una base covariant en una dimensió miniatura|Fig. 3 – Transformació de la base covariant local en el cas de coordenades curvilínies generals Considereu la corba unidimensional que es mostra a la figura 3. Al punt P, pres com a origen, x és una de les coordenades cartesianes i q₁ és una de les coordenades curvilínies. El vector base local (no unitari) és b₁ (notat com a h₁ a dalt, amb b reservat per a vectors unitaris) i es construeix sobre l'eix q₁ que és tangent a aquesta línia de coordenades al punt P. L'eix q₁ i , per tant , el vector b₁ formen un angle amb l'eix x cartesià i el vector base cartesiana e1.
Es pot veure del triangle PAB que
on | e1 |, | b1 | són les magnituds dels dos vectors base, és a dir, les interseccions escalars amb PB i PA. PA també és la projecció de b1 sobre l'eix x.
Tanmateix, aquest mètode per a transformacions de vectors de base utilitzant cosinus direccionals no és aplicable a coordenades curvilínies pels motius següents:
En augmentar la distància des de P, l'angle entre la línia corba q1 i l'eix cartesià x es desvia cada cop més de . A la distància PB, l'angle veritable és el que forma la tangent al punt C amb l'eix x, i aquest darrer angle és clarament diferent de .
Generalització a n dimensions El formalisme s'estén a qualsevol dimensió finita de la següent manera.
Considerem l'espai euclidià n-dimensional real, és a dir, R n = R × R ×... × R (n vegades) on R és el conjunt de nombres reals i × denota el producte cartesià, que és un espai vectorial.
Les coordenades d'aquest espai es poden denotar per: x = ( x₁ , x₂ ,..., xₙ ). Com que aquest és un vector (un element de l'espai vectorial), es pot escriure com:
on e1 = (1,0,0...,0), e2 = (0,1,0...,0), e3 = (0,0,1...,0),..., en = (0,0,0...,1) és el conjunt de vectors base estàndard per a l'espai Rn, i i = 1, 2,... n és un índex que etiqueta els components. Cada vector té exactament un component a cada dimensió (o "eix") i són mútuament ortogonals (perpendiculars) i normalitzades (té magnitud unitària).
Més generalment, podem definir vectors base b i de manera que depenguin de q = ( q 1, q 2 ,..., q n ), és a dir, que canvien de punt a punt: b i = b i (q). En aquest cas, per definir el mateix punt x en termes d'aquesta base alternativa: les coordenades respecte a aquesta base v i també depenen necessàriament de x, és a dir, v i = v i (x). Aleshores, un vector v en aquest espai, respecte a aquestes coordenades alternatives i vectors base, es pot expandir com una combinació lineal en aquesta base (que simplement significa multiplicar cada vector base ei per un nombre v i – multiplicació escalar):
La suma vectorial que descriu v a la nova base està composta de diferents vectors, tot i que la suma en si mateixa roman igual.
Transformació de coordenades Des d'una perspectiva més general i abstracta, un sistema de coordenades curvilínies és simplement un pegat de coordenades a la varietat diferenciable En (espai euclidià n-dimensional) que és difeomòrfic al pegat de coordenades cartesianes de la varietat. Dos pegats de coordenades difeomòrfics en una varietat diferencial no cal que se superposin diferenciablement. Amb aquesta definició simple d'un sistema de coordenades curvilínies, tots els resultats que segueixen a continuació són simplement aplicacions de teoremes estàndard en topologia diferencial.
Les funcions de transformació són tals que hi ha una relació biunívoca entre els punts de les coordenades "antigues" i "noves", és a dir, aquestes funcions són bijeccions i compleixen els requisits següents dins dels seus dominis:
Àlgebra vectorial i tensorial en coordenades curvilínies tridimensionals