miniatura|384x384px|En verd, paràboles confocals que s'obren cap amunt, En vermell, paràboles confocals que s'obren cap avall, Les coordenades parabòliques són un sistema de coordenades ortogonals bidimensional en què les línies de coordenades són paràboles confocals. Una versió tridimensional de les coordenades parabòliques s'obté girant el sistema bidimensional al voltant de l'eix de simetria de les paràboles.
Les coordenades parabòliques han trobat moltes aplicacions, per exemple, el tractament de l'efecte Stark i la teoria potencial de les vores.
Coordenades parabòliques bidimensionals Coordenades parabòliques bidimensionals es defineixen per les equacions, en termes de coordenades cartesianes:
Les corbes de constant formen paràboles confocals
que s'obren cap amunt (és a dir, cap a ), mentre que les corbes de constant formen paràboles confocals
Les coordenades cartesianes i es pot convertir a coordenades parabòliques mitjançant:
Factors d'escala bidimensionals Els factors d'escala per a les coordenades parabòliques són iguals
Per tant, l'element infinitesimal de l'àrea és
i el laplacià és igual a
Altres operadors diferencials com ara i es pot expressar en coordenades substituint els factors d'escala a les fórmules generals que es troben en coordenades ortogonals.
Coordenades parabòliques tridimensionals miniatura|320x320px|Superfícies de coordenades de les coordenades parabòliques tridimensionals. El paraboloide vermell correspon a τ=2, el paraboloide blau correspon a σ=1 i el semiplà groc correspon a φ=−60°. Les tres superfícies s'intersequen al punt P (que es mostra com una esfera negra) amb coordenades cartesianes aproximadament (1.0, −1.732, 1.5). Les coordenades parabòliques bidimensionals formen la base de dos conjunts de coordenades ortogonals tridimensionals. Les coordenades cilíndriques parabòliques es produeixen projectant en el -direcció. La rotació al voltant de l'eix de simetria de les paràboles produeix un conjunt de paraboloides confocals, el sistema de coordenades de coordenades parabòliques tridimensionals. Expressat en termes de coordenades cartesianes:
on les paràboles ara estan alineades amb la eix, al voltant del qual es va dur a terme la rotació. Per tant, l'angle azimutal està definit
Les superfícies de constant formen paraboloides confocals
que s'obren cap amunt (és a dir, cap a ) mentre que les superfícies de constant formen paraboloides confocals
que s'obren cap avall (és a dir, cap a ). Els focus de tots aquests paraboloides es troben a l'origen.
El tensor mètric riemannià associat amb aquest sistema de coordenades és
Factors d'escala tridimensionals Els factors d'escala tridimensionals són:
Es veu que els factors d'escala i són els mateixos que en el cas bidimensional. L'element de volum infinitesimal és llavors
i el laplacià ve donat per
Altres operadors diferencials com ara i es pot expressar en coordenades substituint els factors d'escala a les fórmules generals que es troben en coordenades ortogonals.
Referències
Categoria:Sistemes de coordenades