miniatura|Diagrama de les agulles de Buffon Els problemes del següent tipus, i les seves tècniques de resolució, es van estudiar per primera vegada al segle XVII, i el tema general va passar a conèixer-se com a probabilitat geomètrica.

(L'agulla de Buffon) Quina és la probabilitat que una agulla que cau a l'atzar sobre un terra marcat amb línies paral·leles equidistants creui una de les línies? Quina és la longitud mitjana d'una corda aleatòria d'un cercle unitari? (cf. la paradoxa de Bertrand). Quina és la probabilitat que tres punts aleatoris del pla formin un triangle agut (en lloc d'obtús)? Quina és l'àrea mitjana de les regions poligonals que es formen quan es distribueixen línies orientades aleatòriament sobre el pla?

Per al desenvolupament matemàtic, vegeu la monografia concisa de Solomon. El primer problema conegut en aquest camp va ser estudiat i discutit per Isaac Newton en un manuscrit privat que data de 1664-1666, amb un problema que analitzava la probabilitat que una pilota insignificant caigués en un de dos sectors desiguals d'un cercle. La seva anàlisi va establir el principi fonamental que l'atzar és proporcional a la fracció d'àrea, va assenyalar que la probabilitat pot ser irracional i va proposar un experiment de freqüència per a l'estimació de l'atzar, cosa que va conduir a la fundació de l'estereologia.

Des de finals del segle XX, el tema s'ha dividit en dos temes amb èmfasis diferents. La geometria integral va sorgir del principi que els models de probabilitat matemàticament naturals són aquells que són invariants sota certs grups de transformació. Aquest tema emfatitza el desenvolupament sistemàtic de fórmules per calcular els valors esperats associats amb els objectes geomètrics derivats de punts aleatoris, i en part es pot veure com una branca sofisticada del càlcul multivariant. La geometria estocàstica emfatitza els objectes geomètrics aleatoris en si. Per exemple: diferents models per a línies aleatòries o per a tessel·lacions aleatòries del pla; conjunts aleatoris formats fent que els punts d'un procés de Poisson espacial siguin (per exemple) centres de discs.

Referències

Categoria:Matemàtiques Categoria:Probabilitat