En probabilitat i estadística, una mesura de moment és una quantitat matemàtica, funció o, més precisament, mesura que es defineix en relació amb objectes matemàtics coneguts com a processos puntuals, que són tipus de processos estocàstics que sovint s'utilitzen com a models matemàtics de fenòmens físics representables com a punts posicionats aleatòriament en el temps, l'espai o tots dos. Les mesures de moment generalitzen la idea de moments (en brut) de variables aleatòries, per la qual cosa sorgeixen sovint en l'estudi dels processos puntuals i camps relacionats.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. {II}. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2008.
Un exemple de mesura de moment és la primera mesura de moment d'un procés puntual, sovint anomenada mesura mitjana o mesura d'intensitat, que dóna el nombre esperat o mitjà de punts del procés puntual situats en alguna regió de l'espai.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009. En altres paraules, si el nombre de punts d'un procés puntual situats en alguna regió de l'espai és una variable aleatòria, aleshores la primera mesura de moment correspon al primer moment d'aquesta variable aleatòria.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.
Les mesures de moments tenen un paper destacat en l'estudi dels processos puntuals,D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. {II}. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2008.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. I. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2003.A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004, pages 1-75, 2007. així com en els camps relacionats de la geometria estocàsticaD. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995. i l'estadística espacialJ. Moller and R. P. Waagepetersen. Statistical inference and simulation for spatial point processes. CRC Press, 2003. les aplicacions de les quals es troben en nombroses disciplines científiques i d'enginyeria com ara la biologia, la geologia, la física i les telecomunicacions.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume II – Applications, volume 4, No 1-2 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.
Notació de processos puntuals Els processos puntuals són objectes matemàtics que es defineixen en algun espai matemàtic subjacent. Com que aquests processos s'utilitzen sovint per representar col·leccions de punts dispersos aleatòriament en l'espai físic, el temps o ambdós, l'espai subjacent sol ser un espai euclidià d- dimensional, denotat aquí per , però es poden definir en espais matemàtics més abstractes.D. J. Daley and D. Vere-Jones. An introduction to the theory of point processes. Vol. {II}. Probability and its Applications (New York). Springer, New York, second edition, 2008.
Els processos puntuals tenen diverses interpretacions, la qual cosa es reflecteix en els diversos tipus de notació de processos puntuals.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume II – Applications, volume 4, No 1-2 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009. Per exemple, si un punt pertany o és membre d'un procés puntual, denotat per , aleshores això es pot escriure com:
i representa el procés puntual que s'interpreta com un conjunt aleatori. Alternativament, el nombre de punts de situat en algun conjunt de Borel sovint s'escriu com:F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.J. Moller and R. P. Waagepetersen. Statistical inference and simulation for spatial point processes. CRC Press, 2003.
que reflecteix una interpretació de mesures aleatòries per a processos puntuals. Aquestes dues notacions sovint s'utilitzen en paral·lel o indistintament.F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.J. Moller and R. P. Waagepetersen. Statistical inference and simulation for spatial point processes. CRC Press, 2003.
Definicions Potència n-èsima d'un procés puntual Per a algun nombre enter , el -èsima potència d'un procés puntual es defineix com:F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.
on és una col·lecció de conjunts de Borel no necessàriament disjunts (en ), que formen una producte cartesià de conjunts denotat per El símbol denota la multiplicació estàndard.
La notació reflecteix la interpretació del procés puntual com a mesura aleatòria.D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.
L'-èsima potència d'un procés puntual es pot definir de manera equivalent com:D. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995.
on es fa la suma sobre tot -tuples de punts (possiblement repetitius), i denota una funció indicadora tal que és una mesura de Dirac. Aquesta definició es pot contrastar amb la definició de la potència factorial n d'un procés puntual per al qual cada tupla n consisteix en n punts diferents.
Mesura del moment n-èsim El La mesura del moment -èsim es defineix com:
on la E denota l'esperança (operador) del procés puntual En altres paraules, la mesura del moment n -èsim és l'esperança de la potència n -èsim d'algun procés puntual.
El mesura del moment èsim d'un procés puntual es defineix de manera equivalentD. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995. com:
on és qualsevol funció mesurable no negativa en i la suma s'ha acabat -tuples de punts per als quals es permet la repetició.
Mesura del primer moment Per a algun conjunt de Borel B, el primer moment d'un procés puntual N és:
on es coneix, entre altres termes, com a mesura d'intensitatD. Stoyan, W. S. Kendall, J. Mecke, and L. Ruschendorf. Stochastic geometry and its applications, volume 2. Wiley Chichester, 1995. o mesura mitjanaJ. F. C. Kingman. Poisson processes, volume 3. Oxford university press, 1992. i s'interpreta com el nombre esperat o mitjà de punts de trobat o situat en el conjunt .
Mesura del segon moment La segona mesura de moment per a dos conjunts de Borel i és:
que per a un sol conjunt de Borel esdevé
on denota la variància de la variable aleatòria .
El terme de variància anterior fa referència a com les mesures de moments, com els moments de les variables aleatòries, es poden utilitzar per calcular quantitats com la variància dels processos puntuals. Un altre exemple és la covariància d'un procés puntual. per a dos conjunts de Borel i , que ve donat per:F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.
Exemple: procés del punt de Poisson Per a un procés puntual de Poisson general amb mesura d'intensitat la mesura del primer moment és:F. Baccelli and B. Błaszczyszyn. Stochastic Geometry and Wireless Networks, Volume I – Theory, volume 3, No 3-4 of Foundations and Trends in Networking. NoW Publishers, 2009.
que per a un procés puntual de Poisson homogeni amb intensitat constant significa:
on és la longitud, àrea o volum (o més generalment, la mesura de Lebesgue) de .
Per al cas de Poisson amb mesura la segona mesura de moment definida al conjunt de productes és:A. Baddeley, I. Bárány, and R. Schneider. Spatial point processes and their applications. Stochastic Geometry: Lectures given at the CIME Summer School held in Martina Franca, Italy, September 13–18, 2004, pages 1-75, 2007.
que en el cas homogeni es redueix a
Referències
Categoria:Probabilitat Categoria:Estadística