El codi de superfície és un codi topològic de correcció d'errors quàntics, i un exemple de codi estabilitzador, definit en una xarxa d'espín bidimensional.A. Y. Kitaev, Proceedings of the 3rd International Conference of Quantum Communication and Measurement, Ed. O. Hirota, A. S. Holevo, and C. M. Caves (New York, Plenum, 1997) El primer tipus de codi de superfície introduït per Alexei Kitaev el 1997 va ser el codi tòric, que rep el seu nom de les seves condicions de contorn periòdiques, que li donen la forma d'un tor. Aquestes condicions donen al model invariància translacional, que és útil per a l'estudi analític. El codi tòric és el més simple i ben estudiat dels models dobles quàntics. També és l'exemple més simple d'ordre topològic: ordre topològic Z₂ (estudiat per primera vegada en el context del líquid d'espín Z₂ el 1991). El codi tòric també es pot considerar com una teoria de gauge de xarxa Z₂ en un límit particular.
Tanmateix, en moltes plataformes de computació quàntica, la realització experimental d'un codi de superfície és molt més fàcil si el codi es pot integrar en un pla 2D. Això va motivar el disseny d'un altre tipus de codi de superfície amb condicions de contorn obertes, el codi planar. A partir del 2025, Google Quantum AI ha implementat un codi planar de distància 7 a la seva nova generació de processadors quàntics superconductors, el processador Willow, demostrant una taxa d'error físic per sota del llindar.
Definició El codi de superfície es defineix en una xarxa bidimensional, normalment escollida com la xarxa quadrada. A continuació, primer il·lustrarem el concepte bàsic amb el codi tòric, on la xarxa té condicions de contorn periòdiques, és a dir, el límit superior està connectat a la part inferior i el límit esquerre a la dreta. Topològicament, això equival a definir la xarxa en un tor. miniatura|250x250px|Una secció del codi tòric. Es destaquen un vèrtex i una plaqueta, juntament amb els qubits utilitzats en la definició dels seus estabilitzadors. Un qubit es troba a cada aresta de la xarxa. Per a una xarxa , hi ha horitzontals arestes verticals, per tant, qubits en total. Els operadors estabilitzadors es defineixen als qubits al voltant de cada vèrtex i placa (cara) de la xarxa de la manera següent:
Aquí denota les arestes que toquen el vèrtex , i denota les vores que envolten la plaqueta L'espai de codi del codi tòric és el subespai per al qual tots els estabilitzadors actuen trivialment, per tant, per a qualsevol estat en aquest espai es considera que
Per al codi tòric, aquest espai és tetradimensional, i per tant es pot utilitzar per emmagatzemar dos qubits d'informació quàntica. Això es pot demostrar considerant el nombre d'operadors estabilitzadors independents: Per a una xarxa , hi estabilitzadors de vèrtex estabilitzadors de plaquetes, però el producte de tots els estabilitzadors de vèrtex és i també ho és el producte de tots els estabilitzadors de plaquetes. Per tant, hi ha estabilitzadors independents, deixant 2 qubits de graus de llibertat.
L'aparició d'errors normalment mourà l'estat fora de l'espai de codi, donant lloc a vèrtexs i plaquetes per als quals la condició anterior no es compleix. Concretament, un error de Pauli en el qubit inverteix els dos estabilitzadors de vèrtexs de manera que (els extrems de l'aresta ), i un error de Pauli sobre el qubit inverteix els dos estabilitzadors de plaquetes de manera que (les plaquetes a banda i banda de la vora ). Les posicions d'aquestes violacions constitueixen la síndrome del codi, que es pot utilitzar per a la correcció d'errors.
La naturalesa única dels codis topològics com el codi de superfície és que les violacions de l'estabilitzador es poden interpretar com a quasipartícules. Concretament, si el codi es troba en un estat de tal manera que , es pot dir que una quasipartícula coneguda com a anyó existeix al vèrtex . De la mateixa manera, una violació d'algunes s'associa amb un anyó a la plaqueta . L'espai de codi, sense violació de l'estabilitzador, correspon al buit aniònic. El fet esmentat anteriorment que el producte de tots els estabilitzadors del vèrtex (resp. plaqueta) és significa que el nombre d'anyons (resp. ) en un codi tòric és sempre parell. miniatura|250x250px|Els bucles topològicament no trivials del torus. Moure anyons al llarg d'aquests implementen operadors lògics de Pauli sobre els qubits emmagatzemats. Un error d'un sol qubit es pot associar amb una aresta i crea un parell d'anyons en ambdós extrems d'aquesta aresta. Tanmateix, dos anyons a la mateixa ubicació s'anihilaran mútuament, de manera que un error també pot moure eficaçment un anyó al llarg d'una aresta, permetent que anyons e es transportin a la xarxa. Si el parell inicial d'anyons acaba trobant-se i aniquilant-se, els seus camins formen un bucle.
Si el bucle és topològicament trivial, aleshores es pot escriure com una combinació de plaquetes (generadors d'estabilitzadors ) a la xarxa. Per tant, el bucle representa un estabilitzador del codi i no té cap efecte sobre la informació emmagatzemada. L'aniquilació dels anions, en aquest cas, corregeix tots els errors implicats en la seva creació i transport. Tanmateix, si el bucle és topològicament no trivial, aleshores representa un operador lògic no trivial. Tot i que la reanihilació dels anyons retorna l'estat a l'espai de codi, també implementa una operació lògica sobre la informació emmagatzemada. Per tant, els errors, en aquest cas, no es corregeixen sinó que es consoliden. En un tor, hi ha dos bucles independents topològicament no trivials: un que fa un bucle horitzontal sobre la xarxa de codi tòric, i un altre que fa un bucle vertical. Aquests es poden identificar amb els operadors dels dos qubits lògics codificats en el codi tòric.
Si considerem el graf dual de la xarxa, es pot veure que el paràgraf anterior també s'aplica als errors i anyons. Cal tenir en compte que l'operador horitzontal i l'operador vertical pertanyen al mateix qubit, i viceversa. Això garanteix les relacions de commutació correctes entre els operadors lògics.
Correcció d'errors Considereu el model de soroll per al qual els errors de bit i de fase es produeixen independentment en cada qubit, tots dos amb probabilitat . Quan és baixa, això crearà parells d'anyons dispersament distribuïts que no s'han mogut gaire lluny del seu punt de creació. La correcció es pot aconseguir identificant els parells en què es van crear els anions (fins a una classe d'equivalència) i després reaniquilant-los per eliminar els errors. Tanmateix, a mesura que augmenta, es torna més ambigu com es poden emparellar els anions sense arriscar-se a la formació de bucles topològicament no trivials. Això dóna una probabilitat llindar, sota la qual la correcció d'errors gairebé amb tota seguretat tindrà èxit. Mitjançant un mapatge amb el model d'Ising d'enllaços aleatoris, s'ha trobat que aquesta probabilitat crítica és al voltant de l'11%.
També es poden considerar altres models d'error i trobar llindars. En tots els casos estudiats fins ara, s'ha descobert que el codi satura el límit de Hashing. Per a alguns models d'error, com ara errors esbiaixats on els errors de bit es produeixen més sovint que els errors de fase o viceversa, s'han d'utilitzar xarxes diferents de la xarxa quadrada per aconseguir els llindars òptims.
Els errors d'esborrat també s'han estudiat mitjançant mapes de física estadística; Masayuki Ohzeki va estimar els llindars d'error per a codis de superfície amb qubits perduts analitzant models de vidre de spin relacionats.
Aquests llindars són límits superiors i no serveixen de res tret que es trobin algoritmes eficients per aconseguir-los. L'algoritme més utilitzat és la coincidència perfecta de pes mínim. Quan s'aplica al model de soroll amb errors de bit i de flip independents, s'aconsegueix un llindar d'aproximadament el 10,5%. Això només queda una mica per sota del màxim de l'11%. Tanmateix, la coincidència no funciona tan bé quan hi ha correlacions entre els errors de bit i de fase, com ara amb el soroll despolaritzant.
Condicions de contorn obertes Quan s'adapta el codi de superfície a condicions de contorn obertes, sorgeixen comportaments de contorn especials. Com a exemple motivador, considereu la definició d'un codi de superfície de la mateixa manera que l'anterior, però en un gràfic de malla quadrada . Alguns vèrtexs del contorn tindran grau 3 en lloc de 4 (i els vèrtexs de les cantonades tindran grau 2), de manera que hi haurà alguns estabilitzadors pes 3 (i pes 2).
La característica més important d'una frontera tan oberta és que un error de Pauli ja no necessàriament inverteix dos estabilitzadors de plaquetes. Una aresta a la frontera només té una plaqueta adjacent i, per tant, un error al qubit corresponent només invertirà una sola. , o en el llenguatge dels anyons, només crear o aniquilar un sol anyon. Es podria dir que aquest tipus de límit de codi (conegut com a límit suau) és una font i un embornal per a anyons.
En un codi de superfície amb límits oberts, a més dels bucles veritables, cal tenir en compte els camins que comencen i acaben en un límit, que normalment són específics dels tipus anyon. En el nostre exemple de gràfic de quadrícula , es pot crear un anyon en qualsevol ubicació del límit, moure's a través de la quadrícula i ser aniquilat en qualsevol altra ubicació del límit. Tanmateix, com que només hi ha un tipus de límit, tots aquests camins són topològicament trivials. Per exemple, si es crea un anyon en algun lloc al mig del límit superior, es mou un pas horitzontalment i després és aniquilat de nou pel límit superior, el seu camí correspon a un dels estabilitzadors de pes 3 esmentats anteriorment. Mentrestant, anyons només es poden moure dins del límit, de manera que tots els bucles anyon també són topològicament trivials. Això indica que aquest codi no codifica cap qubit lògic, cosa que es pot verificar comptant qubits i estabilitzadors: hi ha qubits (arestes de xarxa), estabilitzadors de vèrtex independents i estabilitzadors de plaquetes independents (a causa de la frontera, el producte de tots els estabilitzadors de plaquetes ja no és i tots són independents), i .
Per dissenyar un codi de superfície de límit obert amb un espai de codi no trivial, cal utilitzar un altre tipus de límit, el límit rugós que actua com el dual del límit suau. Per crear un límit rugós, comencem des del límit suau i eliminem les arestes (qubits) del límit que només són veïnes d'una plaqueta, però mantenim aquestes plaquetes com a estabilitzadors de pes 3. Els estabilitzadors de vèrtex del límit original ara són de pes 1 i ja no commuten correctament amb els estabilitzadors de plaqueta modificats, de manera que aquests estabilitzadors de vèrtex també s'eliminen, deixant algunes arestes "penjants" a la xarxa (d'aquí el nom "rugosa"). El resultat és un límit que actua com a font i lavabo per a anyons.