En matemàtiques, una equació de Monge-Ampère (real) és una equació diferencial parcial de segon ordre no lineal d'un tipus especial. Una equació de segon ordre per a la funció desconeguda de dues variables , és de tipus Monge-Ampère si és lineal en el determinant de la matriu hessiana de i en les derivades parcials de segon ordre de . Les variables independents (, ) varien en un domini determinat de . El terme també s'aplica a equacions anàlogues amb variables independents. Els resultats més complets fins ara s'han obtingut quan l'equació és el·líptica.
Porta el nom de Gaspard Monge, que va introduir la geometria descriptiva i la primera forma de l'equació diferencial parcial el 1784, i d'André-Marie Ampère, que va introduir l'equació diferencial parcial no lineal el 1820 quan estudiava la geometria de les superfícies.
Luis Caffarelli va guanyar el Premi Abel 2023 pel seu treball sobre aquesta equació.
Definició En dues dimensions Donades dues variables independents i , i una variable dependent , l'equació general de Monge-Ampère és de la forma
on , , , , i són funcions que depenen de les variables de primer ordre , , , , i només.
En general Donat un domini i una funció amb valors reals , una equació de Monge-Ampère (real) és qualsevol equació de segon ordre completament no lineal que es pot escriure de la forma
per alguna funció . Més generalment, pot ser una varietat riemanniana, ja que estan ben definides en una varietat riemanniana.
Si també depèn linealment de tots els menors principals de la matriu hessiana , aleshores és una equació del tipus Monge-Ampère.
Classificació Igual que amb altres equacions completament no lineals de segon ordre, el tipus d'equació de Monge-Ampère es defineix per la linealització de l'operador en una solució prou suau. D'aquests, el més comú és el cas el·líptic. Quan la gent diu "equació de Monge-Ampère" sense adjectiu, normalment es refereixen al cas el·líptic.
Sigui un conjunt obert, ser un funció, i considereu un operador de tipus Monge-Ampère
on és suau en totes les variables i depèn de només a través dels seus principals menors. La linealització de és de forma
on
La forma quadràtica
és el símbol principal de l'operador linealitzat en el punt .
Es diu que l'equació és
el·líptic a si si tots els valors propis són del mateix signe, hiperbòlica a si pren valors tant positius com negatius (la matriu és indefinida), parabòlica a si és degenerada (la matriu té un determinant nul·la), el·líptic degenerat si és el·líptic a tot arreu, el·líptic si és el·líptica degenerada i tots els valors propis estan a una distància limitada de zero.
Tal com es desprèn de la fórmula de Jacobi per a la derivada d'un determinant, aquesta equació és el·líptica si és una funció positiva i les solucions satisfan la restricció de ser uniformement convexes. Si és simplement estrictament convexa, aleshores l'equació és degenerada-el·líptica.
Exemples L'equació de Monge-Ampère en la seva forma més simple és
on és una funció donada en un domini . Aquest és un cas especial de l'equació (1) següent amb .
El teorema clàssic de Liouville té una analogia aquí. Si és constant, i està definit en tots els , aleshores és una funció quadràtica. Aquest és el teorema de Jörgens-Calabi-Pogorelov.: Secció 4.3
Si és positiu i uniformement convex, i és una solució per a , aleshores la seva transformada de Legendre és una solució per a .
Geometria Les equacions de Monge-Ampère sorgeixen naturalment en diversos problemes de geometria riemanniana, geometria conforme, geometria afí i geometria CR.
Donada una funció amb valor real dues vegades diferenciable definit sobre un domini , el seu gràfic és una varietat de n dimensions. En qualsevol , la curvatura gaussiana de la varietat a és . Així doncs, si volem trobar una varietat la curvatura gaussiana de la qual sigui una funció arbitrària que triem nosaltres mateixos, hem de resoldre la següent equació de Monge-Ampère:
on és la curvatura gaussiana que volem. Donada una funció K d'aquest tipus, no és trivial trobar una solució, si n'hi ha. El problema de trobar una solució és el problema de Minkowski, o el problema de curvatura gaussiana prescrit.
Per exemple, la rigidesa de la 2-esfera es manifesta com el fet que si requerim , aleshores només hi ha dues solucions úniques, que són la 2-esfera unitària i la seva reflexió.
Les esferes afins es poden caracteritzar mitjançant una equació de Monge-Ampère.
Transport òptim Considereu el problema del transport òptim amb cost quadràtic (això també s'anomena problema mètric 2-Wasserstein) a . És a dir, suposem són distribucions en amb funcions de densitat de probabilitat . En aquest cas, un mapa és un mapa de transport si i només si satisfà per a qualsevol funció de prova integrable . El problema és trobar el que minimitza la següent funció de cost quadràtica: Per un teorema de Brenier, el mapa de transport òptim existeix, i és el gradient d'una funció convexa , amb . La funció convexa satisfà una equació de Monge-Ampère: La condició de contorn simplement estableix que el transport òptim mapeja el contorn de la font al contorn de la destinació. A més, la solució és únic gairebé a tot arreu.
La funció s'anomena funció potencial del problema en aquest cas.
Per contra, algunes equacions de Monge-Ampère es poden interpretar com a transport òptim. Les solucions febles de les equacions de Monge-Ampère obtingudes per transport òptim sovint s'anomenen solucions de Brenier a la literatura. Les solucions de Brenier satisfan les seves corresponents equacions de Monge-Ampère gairebé a tot arreu.
Teorema de Rellich Sigui un domini delimitat en , i suposem que en els coeficients , , , , i són funcions contínues de i només. Considereu el problema de Dirichlet per trobar de manera que
Si
aleshores el problema de Dirichlet té com a màxim dues solucions.
Resultats d'el·lipticitat Suposem ara que és una variable amb valors en un domini de , i que és una funció positiva. Aleshores, l'equació de Monge-Ampère
és una equació diferencial parcial el·líptica no lineal (en el sentit que la seva linealització és el·líptica), sempre que es limiti l'atenció a les solucions convexes.
En conseqüència, l'operador satisfà versions del principi del màxim, i en particular les solucions al problema de Dirichlet són úniques, sempre que existeixin.
Referències
Categoria:Equacions en derivades parcials