En matemàtiques, una mesura gaussiana és una mesura de Borel en un espai euclidià de dimensió finita , estretament relacionada amb la distribució normal en estadística. També hi ha una generalització a espais de dimensió infinita. Les mesures gaussianes reben el nom del matemàtic alemany Carl Friedrich Gauss. Una de les raons per les quals les mesures gaussianes són tan omnipresents en la teoria de la probabilitat és el teorema del límit central. En termes generals, afirma que si una variable aleatòria s'obté sumant un nombre gran de variables aleatòries independents amb variància 1, aleshores té variància i la seva llei és aproximadament gaussiana.
Definicions Sigui i denota la finalització del Borel -àlgebra activada . Sigui denoten l'habitual mesura de Lebesgue de dimensió 2. Aleshores, la mesura gaussiana estàndard es defineix per per a qualsevol conjunt mesurable . En termes de la derivada de Radon-Nikodym, Més generalment, la mesura gaussiana amb mitjana i la variància ve donat per Mesures gaussianes amb mitjana es coneixen com a mesures gaussianes centrades.
La mesura de Dirac és el límit feble de com , i es considera una mesura gaussiana degenerada; en canvi, les mesures gaussianes amb variància finita i diferent de zero s'anomenen mesures gaussianes no degenerades.
Propietats La mesura gaussiana estàndard en
és una mesura de Borel (de fet, com s'ha comentat anteriorment, es defineix en completar l'àlgebra sigma de Borel, que és una estructura més fina); és equivalent a la mesura de Lebesgue: , on representa la continuïtat absoluta de les mesures; és compatible amb tot l'espai euclidià: ; és una mesura de probabilitat , i per tant és localment finit; és estrictament positiu: tot conjunt obert no buit té mesura positiva; és regular intern: per a tots els conjunts de Borel , per tant, la mesura gaussiana és una mesura de radó; no és invariant a la traducció, però satisfà la relació on la derivada del costat esquerre és la derivada de Radon-Nikodym, i és l'impuls de la mesura gaussiana estàndard pel mapa de translació , ; és la mesura de probabilitat associada a una distribució de probabilitat normal:
Espais de dimensions infinites Es pot demostrar que no hi ha cap anàleg de la mesura de Lebesgue en un espai vectorial de dimensió infinita. Tot i això, és possible definir mesures gaussianes en espais de dimensió infinita, sent l'exemple principal la construcció abstracta de l'espai de Wiener. Una mesura de Borel en un espai de Banach separable es diu que és una mesura gaussiana no degenerada (centrada) si, per a cada funcional lineal excepte , la mesura d'impuls és una mesura gaussiana no degenerada (centrada) en en el sentit definit anteriorment.
Per exemple, la mesura clàssica de Wiener a l'espai de camins continus és una mesura gaussiana.
Referències
Categoria:Probabilitat Categoria:Mesura