En matemàtiques, la transformació de Darboux, anomenada així en honor a Gaston Darboux (1842–1917), és un mètode per generar una nova equació i la seva solució a partir de les conegudes. S'utilitza àmpliament en la teoria de dispersió inversa, en la teoria de polinomis ortogonals, i com a forma de construir solucions de solitons de la jerarquia KdV. Des del punt de vista de la teoria d'operadors, aquest mètode correspon a la factorització de l'operador diferencial de segon ordre inicial en un producte d'expressions diferencials de primer ordre i el posterior intercanvi d'aquests factors, i per això de vegades s'anomena mètode de commutació única a la literatura matemàtica. La transformació de Darboux té aplicacions en la mecànica quàntica supersimètrica.
Història La idea es remunta a Carl Gustav Jacob Jacobi.
Mètode Sigui una solució de l'equació
i sigui una solució fixa estrictament positiva de la mateixa equació per a alguna . Aleshores per ,
és una solució de l'equació
on També, per , una solució d'aquesta última equació diferencial és i la seva solució general es pot trobar pel mètode d'Alembert:
on i són constants arbitràries.
Problemes de valors propis La transformació de Darboux modifica no només l'equació diferencial sinó també les condicions de contorn. Aquesta transformació permet reduir les condicions de contorn dependents del paràmetre propi a condicions de contorn independents del paràmetre de valor propi: una de les condicions de Dirichlet, Neumann o Robin. D'altra banda, també permet convertir singularitats quadratiques inverses a condicions de contorn de Dirichlet i viceversa. Així, les transformacions de Darboux relacionen les condicions de contorn dependents del paràmetre propi amb singularitats del quadrat invers.
Referències
Categoria:Equacions diferencials