Una palanca, alçaprem o perpal és una màquina simple composta per una barra rígida que pot girar lliurement entorn d'un punt de suport, o fulcre. Es pot utilitzar per a amplificar la força mecànica que s'aplica a un objecte, per a aixecar coses pesants o per a acréixer la distància recorreguda per un objecte en resposta a l'aplicació d'una força. S'empra en bon nombre d'oficis en la seva funció principal, servir per a alçapremar o apalancar o palanquejar, notablement per a fracturar un cadenat o una cadena.
Etimologia Palanca prové del llatí “palanga” i aquest terme del grec φάλαγξ, -γγος, garrot. Alçaprem deriva de les dues accions combinades de “alçar” i “prémer”. “Alçapremar” indica sovint “usar un alçaprem”. Perpal sembla derivar de “ferpal” que derivaria del llatí “ferri palum” o “ferro palo”, pal de ferro (documentat l'any 1299). Una altra opinió el faria derivar del portuguès ”prepal” (peça davant del pal o arbre d'una nau).miniatura|Figura 1. La palanca de mà és una eina simple, adaptada per a fer esforços més grans dels que es podrien fer amb les mans. Història miniatura|Figura 2. Dibuix d'Arquimedes que mou el món amb una palanca amb prou llargària, amb un punt de suport i situat a una distància prou gran per a bellugar-lo
El descobriment de la palanca i la seva adopció en la vida quotidiana de l'ésser humà probablement van ocórrer durant la prehistòria. El seu ús com a instrument de mesura sorgeix engir de l'any 5000 aC amb una mena de palanca simple
Les palanques com a instrument de mesura s'anaren perfeccionant fins al punt d'aconseguir aparells semblants a la romana d'avui dia. Segons, la romana s'estengué a l'Orient i l'Índia segles abans de la formulació de les lleis de l'estàtica d'Arquimedes (287 aC), mentre que altres autors mencionen la invenció paral·lela de la romana per part dels romans al voltant de l'any 200 aC. Aristòtil també va fer servir un exemple basat en palanques on s'especula que la cinemàtica de la palanca amb fulcre és anàloga a la del cercle. L'exemple es basava en el fet que a les palanques el braç més llarg es movia més ràpid i descrivia un cercle major. Així, tot el sòlid es movia més fàcilment a l'hora d'elevar una càrrega amb el braç curt. Aristòtil comprova així la igualtat entre els productes dels pesos per les velocitats.
En l'obra Qüestions mecàniques, d'Aristòtil o Pseudo-Aristòtil,Aristòtil; Qüestions mecàniques; Qüestions 5,6,7,... algunes de les qüestions es relacionen amb la palanca. La número cinc parla del timó i l'arjau d'una nau. El timoner pot fer que el vaixell es mogui amb una força petita malgrat que una nau és molt més gran que una persona. Aquí cal relacionar la palanca de l'arjau sobre el timó –d'una banda- i de la força del timó sobre la palanca que forma el timó amb la pròpia nau. Altres qüestions tracten dels rems, de l'arbre d'una nau i la vela i de temes semblants.
L'obra anterior influí en filòsofs posteriors com Descartes.
El manuscrit més antic que es conserva, i que esmenta a la palanca, és part de la Sinagoga o Col·lecció Matemàtica de Papos d'Alexandria, una obra en vuit volums que es creu va ser escrita al voltant de l'any 340. Al volum VIII d'aquesta obra apareix la famosa cita d'Arquimedes: «Doneu-me un punt de suport, i mouré el món».
A Arquimedes se li atribueix la primera postulació matemàtica formal del principi de la palanca. Els ensenyaments transmesos pel grec al volum I de la seua obra “De l'equilibri dels plans”, van aprofitar-se sense variacions durant segles fins que algú va aprofundir sobre la base establerta pels estudis d'Arquimedes. A aquesta obra es desprenen els postulats de l'equilibri de sòlids al pla i es donen diverses proposicions aplicables. En aquest cas les proposicions 6 i 7 són referides a la palanca, on se sol dir que s'expressa la llei de la palanca.
Encara que les teories no van prosperar, són destacables els avenços a la tècnica de les balances de braços iguals, que a l'edat mitjana van perfeccionar l'aparell gràcies a la millora dels eixos, que eren més refinats gràcies a la incorporació d'un clau o un boló travessat i subjectat gràcies a una forquilla.
En l'àmbit dels avenços a la teoria de la palanca, s'hagué d'esperar a Leonardo da Vinci, que va estudiar les diferents geometries d'aquesta. Da Vinci va introduir la palanca obliqua. A da Vinci se li atribueixen els notables treballs que encara avui dia continuen vigents, en el principi de la palanca amb aplicacions per a balances amb palanca de plataforma i també amb palanca múltiple articulada. També és remarcable la tasca del geni en introduir la balança indicadora.
El concepte de concatenació de palanques en sèrie fou introduït el 1743, per l'anglès John Wyatt, concepte que s'aprofità per a construir algunes màquines amb palanques compostes que permetien incrementar l'avantatge mecànic o bé disposar de mecanismes més complexos basats en la palanca. La màquina de Wyatt es basava en un conjunt de palanques que sostenien una plataforma a un dels extrems. Es tractava d'un instrument de mesura que aprofitava la composició de palanques per tal d'obtenir unes mesures més correctes i un sistema més eficient.
Principi de la palanca miniatura|Figura 3. Diagrama de forces i distàncies dels braços d'una palanca de primer tipus. El principi o llei de la palanca és el següent:
En física, el moment és el producte de la força aplicada per la distància entre el punt d'aplicació i el punt de rotació del cos. En una palanca, la distància entre el fulcre i el punt d'aplicació d'una força es denomina «braç de palanca». Així, el principi de la palanca afirma que una força petita pot estar en equilibri amb una força gran si la proporció entre els braços de palanca d'ambdues forces és l'adequada.
En la forma més comuna d'ús de la palanca es considera únicament a dues forces: una càrrega o resistència, que sol ser el pes d'un objecte que es desitja moure; i una potència, que és la força que s'exerceix per a causar el moviment. En aquesta situació particular, el principi de la palanca es pot expressar com una senzilla equació:
miniatura|Figura 4. Exemple de palanca en equilibri, on la relació entre braços ha de ser de 20:1 a favor de la massa de 5 kg per tal de mantenir-se en equilibri estàtic.
On i són les forces de potència i resistència, respectivament; i i els seus respectius braços de palanca. Aquestes forces de potència i de resistència són, en aquest cas, perpendiculars a la palanca. Si es donés el cas que les forces tinguessin component no nul en direcció paral·lela a la palanca, aquesta contribució no donaria moment respecte del suport i suposarien una càrrega que tractaria de desplaçar la palanca horitzontalment.
És important notar que, per geometria, els moviments de palanques en elevar càrregues fan que els recorreguts del moviment de punta de palanca siguen proporcionals a la relació entre distàncies al punt de suport. Això, juntament amb la llei de la palanca assegura la conservació de l'energia, ja que el treball emprat per elevar la càrrega és igual a l'increment de l'energia potencial.
Estudi estàtic detallat miniatura|Figura 5. Esquema de les forces d'una palanca representades per al cas general.
Vectorialment, de la generació de moments al voltant del punt O es mostra a la figura, es desprenen dos equacions vectorials, a causa de les lleis d'equilibri generals d'un sòlid: La resultant vectorial de potència i resistència és igual i oposada a la reacció en el fulcre La resultant vectorial de moments al sòlid ha de ser nul·la.
miniatura|Figura 6. Exemple d'equilibri d'un bolquet o carretó, amb la roda com a punt de suport, la càrrega a la caixa i la força de potència F en direcció vertical oposant-se a l'acceleració de la gravetat.
Per una banda, la suma vectorial de les resultants del sistema de forces ha de ser:
Que per al cas particular de forces perpendiculars al braç de la palanca, es tracta d'un sistema de forces en la mateixa direcció que l'eix y : (1)
Prenent moments al voltant de o :
Finalment, el moment d'aquestes forces és un vector en la direcció de l'eix z, de magnitud igual a:
Que s'escriu més fàcilment de la següent manera :
o bé
.
S'ha de notar que : La relació entre les llargàries de braços és inversa a la relació de les magnituds de les forces. L'equació (1) permet calcular l'esforç suportat pel fulcre. F1/F₂ és l'avantatge mecànic ideal del mecanisme.
En el cas de considerar que la palanca té un pes a tenir en compte, s'hauria de situar aquesta força al centre de gravetat de la palanca, de manera que siga una de les forces addicionals a tenir en compte tant a l'equilibri de forces com al de moments.
Estudi cinemàtic miniatura|Figura 7. Diagrama de desplaçaments per a palanques simples. Es mostren els triangles semblants que resulten amb la figura geomètrica del desplaçament vertical, del braç abans de desplaçar-se i de la posició final del braç. Notar que els dos triangles són semblants i, per tant, la proporció entre els seus costats és igual per als dos.
Al tractar-se la palanca d'un cos rígid, es pot estudiar fàcilment la correspondència entre els moviments d'un braç i de l'altre. En efecte, es pot veure a la figura, un diagrama amb el cas general i simplificat de moviment dels dos braços de palanca, al qual se suposa que els petits moviments de palanques esveltes són en direcció vertical, per tal de simplificar.
S'han dibuixat doncs, un parell de vectors desplaçament, amb magnituds δ1 i δ₂, en la mateixa direcció i amb sentits oposats.
Les magnituds d'aquestos dos vectors es desprenen directament del teorema de Tales, que es pot veure a:
També pot ser útil escriure aquesta relació com a relació de proporcionalitat de desplaçaments, ja que el coeficient BP/BR sol ser constant amb la disposició de la palanca. Es pot expressar aquesta proporcionalitat com:
O també com:
Que també es pot traslladar al cas de velocitats i d'acceleracions, ja que aquestes magnituds serien ritmes de canvi de la magnitud desplaçament. Això es pot veure molt fàcilment als trabuquets emprats durant l'edat mitjana, ja que es tracta d'un tipus de palanca amb una càrrega a un costat i un contrapès de potència a l'altre, on l'acceleració del contrapès (que no cau lliurement, ja que la caiguda és atenuada per la resistència) és proporcional a l'acceleració de la càrrega.
Una qüestió important al funcionament de palanques que se'n deriva de l'anterior estudi és la variació del plantejament amb moments de forces a causa de la inclinació de la palanca. La situació anterior suposava moviments perpendiculars dels braços de palanca. En realitat la palanca es mou com un sòlid rígid en rotació al voltant d'un punt, amb moviments circulars al voltant d'aquest punt. Això fa que el punt d'aplicació de la palanca també varie. Tot i això, es veurà que la variació de la situació de la línia d'acció de les forces aplicades (potència i resistència) serà molt minsa i no afecta gaire a la suma de moments. Per això, es considerarà ací per tal de no deixar de costat aquesta suposició més propera a la realitat.
Si se suposara un cert moviment angular de la palanca com a sòlid rígid al voltant del seu fulcre, es tindrien diferents llocs per al punt d'aplicació de les forces d'actuació. A partir d'ací es poden donar diferents casos relatius a l'orientació i la magnitud dels vectors de potència:
miniatura|Figura 8. Diagrama dels desplaçaments causats per una força de potència F₂ aplicada al braç de potència. Notar que totes les forces i les seues línies d'acció queden situades en la mateixa orientació (vertical) que s'hauria suposat amb angle alpha=0.