náhled|Úhly v – (u vrcholu ), (u vrcholu ), a (u vrcholu ) jsou proti stranám , , .
V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o obecných trojúhelnících, které zobecňuje Pythagorovu větu. Umožňuje spočítat úhly v trojúhelníku na základě znalosti délek všech jeho tří stran (nebo vypočítat délku strany, známe-li délky dvou zbylých stran a úhel mezi nimi). Podle kosinové věty pro každý rovinný se stranami a protilehlými vnitřními úhly platí:
Pythagorova věta je speciální případ kosinové věty, protože pro pravý úhel platí , takže například pro získáme . Alternativní větou pro obecný trojúhelník je sinová věta.
Historie Ačkoliv v Eukleidově době ještě nebyl znám pojem kosinus, popisují jeho Základy ze 3. století př. n. l. ranou geometrickou větu, která je téměř ekvivalentní zde popisované kosinové větě. Varianty pro tupoúhlé a ostroúhlé trojúhelníky (odpovídající zápornému a kladnému výsledku funkce kosinus) jsou řešeny samostatně v Knize druhé v částech Úloha XII a XIII. Protože goniometrické funkce a algebra (zejména záporná čísla) v Eukleidově době ještě neexistovaly, jsou tato tvrzení založena na geometrických vztazích:
Výše citované Eukleidovo tvrzení lze zapsat pro tupoúhlý , jenž má tupý úhel a z vrcholu je vedena kolmice na prodlouženou stranu , takto:
Eukleidovy Základy připravily cestu k pozdějšímu objevu kosinové věty. V 15. století uvedl perský matematik a astronom Džamšid al-Kaši první znění kosinové věty ve formě vhodné pro moderní použití při triangulaci, k čemuž poskytl i přesné trigonometrické tabulky. V roce 2020 je ve Francii kosinová věta stále označována jako Formule d'Al-Kashi.
V západním světě zpopularizoval kosinovou větu v 16. století francouzský matematik François Viète. Na počátku 19. století umožnila moderní algebraická notace zapsat kosinovou větu v její současné symbolické podobě.
Důkaz Tvrzení kosinové věty lze snadno dokázat pomocí skalárního součinu.
Elementární důkaz se opírá o Pythagorovu větu a goniometrické funkce sinus a kosinus. Výpočet strany trojúhelníku je vhodné rozdělit podle velikosti daného úhlu (ostrý, pravý a tupý):
Je-li ostrý a bod patou výšky , pak bod náleží straně (pokud ne, prohodíme označení bodů a ). Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je . Protože dále platí, že a , lze psát , , , .
Je-li pravý, pak a podle Pythagorovy věty platí .
Je-li tupý a bod patou výšky , pak bod leží mimo . Vzdálenost paty od bodu označíme . Pak podle Pythagorovy věty je . Protože dále platí, že a , dostáváme , , .
Kosinová věta ve sférickém trojúhelníku Ve sférickém trojúhelníku platí kosinová věta v této podobě:
náhled|Ortodroma Tato podoba sférické kosinové věty se užívá v matematickém zeměpisu pro výpočet délky ortodromy („vzdušné“ vzdálenosti dvou míst na zemském povrchu):
kde jsou zeměpisné šířky poměřovaných míst, je rozdíl zeměpisných délek poměřovaných míst, je ortodroma jako úhel mezi spojnicemi poměřovaných míst a středu Země.
Délku ortodromy pak lze vypočíst jako , je-li v radiánech, resp. , je-li ve stupních.
Související články Kosinus Sinová věta Tangentová věta Pythagorova věta Goniometrie Sférická trigonometrie Kosinová pravidla
Odkazy Reference
Související články Sinová věta Tangentová věta Pythagorova věta Goniometrie Triangulace
Externí odkazy
Kategorie:Goniometrie Kategorie:Matematické věty a důkazy Kategorie:Trojúhelník