náhled|upright=1.3|Graf funkce (černě) a její tečna (červeně). Sklon tečny odpovídá derivaci funkce ve vyznačeném bodě Derivace je důležitý pojem matematické analýzy a základ diferenciálního počtu. Derivace funkce je změna (růst či pokles) její hodnoty v poměru ke změně jejího argumentu, pro velmi malé změny argumentu. Výpočet derivace se nazývá derivování. Opačným procesem k derivování je integrování.
Pojem derivace vznikl v 17. století v pracích Newtona a Leibnize při řešení geometrických a fyzikálních problémů. Pro funkci jedné proměnné je derivace funkce v libovolném bodě (pokud existuje) rovna směrnici tečny ke grafu funkce v tomto bodě. Pro funkci popisující dráhu tělesa jako funkci času derivace udává okamžitou rychlost. Podobně, derivace funkce udávající rychlost je zrychlení.
Název derivace je z pozdně-latinského derivare a lze jej přeložit jako odvozenina nebo odvození, srov. např. německý název pro derivaci „Ableitung“. Neříká to sice o vlastnostech derivace mnoho, ale aspoň tolik, že derivace funkce je danou funkcí plně určena, dá se z ní odvodit, je v ní „obsažena“.
Intuitivní výklad náhled|upright=2.0|vpravo| náhled|upright=1.6| Derivace funkce sinus v bodě, jako směrnice tečny. Na obrázku je graf funkce, která má v bodě x hodnotu f(x). V bodě x+Δx má hodnotu f(x+Δx) a spojnice obou bodů tvoří sečnu křivky. Její směrnici (sklon) lze vyjádřit jako poměr (f(x+Δx) – f(x)) / Δx . Budeme-li nyní oba body přibližovat, tj. zmenšovat diferenci Δx až k nule, přejde sečna nakonec v tečnu. Tečna svírá úhel s osou x a tangens tohoto úhlu nazýváme směrnicí tečny. Derivaci funkce v bodě lze s dostatečnou přesností aproximovat právě jako tuto směrnici tečny. Je-li v bodě x křivka rostoucí, bude její derivace >0 a je-li klesající, bude derivace <0. Pokud křivka v bodě x dosahuje maxima nebo minima a tečna je tedy rovnoběžná s osou x, bude derivace rovna nule.
Na dalším obrázku je znázorněná grafická derivace funkce sinus pomocí tečny.
Definice derivace náhled|Animace zhruba ukazující, jak hodnota derivace odpovídá „přírůstku“ nebo „úbytku“ funkční hodnoty v jednotlivých bodech.
Historické definice derivace Historické definice vyjadřovaly derivaci jako poměr, v jakém růst či pokles závislé proměnné y odpovídá změně nezávisle proměnné x. Nejjednodušší představa o derivaci je, že „derivace je mírou změny funkce v daném bodě, resp. bodech“. Pro změnu hodnoty se používá symbol Δ, takže tento poměr lze symbolicky zapsat jako . Derivace je hodnota podílu pro Δx jdoucí k 0. Nahradíme-li konečně malý rozdíl Δx nekonečně malou změnou dx, získáme intuitivní definici derivace , což naznačuje poměr dvou infinitezimálních hodnot. Derivace vskutku je podílem dvou diferenciálních forem – diferenciálu závislé a diferenciálu nezávislé proměnné. Tento (Leibnizův) zápis se čte dy podle dx a chápe buď jako jediný symbol, označující prostě jen derivování funkce y podle proměnné x, anebo opravdu i jako zlomek. V tom případě lze diferenciály chápat buď elementárněji jako diferenciální formy anebo jako nekonečně malé veličiny (v rámci tzv. nestandardní analýzy, kterou pěstoval mj. i český matematik Petr Vopěnka).
Moderní definice derivace Během vývoje matematiky se intuitivní představa nekonečně malých (infinitezimálních) hodnot ukázala jako nedostatečně přesná a byla nahrazena „ε-δ“ formalismem limit. Nejběžnější moderní definice derivace je
Zápis derivace
Derivace se značí několika způsoby (v závorce je čtení zápisu): [:f s čárkou:], [:d podle d x z f x:], [:d f podle d x:], [:d podle x f:], [:f x:], Newtonova notace používá tečku nad proměnnou: , používá se obvykle pouze ve fyzice pro derivování podle proměnné vyjadřující čas (t).
Diferencovatelnost Ne vždy však limita, která derivaci definuje, existuje a je konečná, tzn. ne každá funkce má v každém bodě derivaci. Pokud je limita nevlastní, pak derivace neexistuje, resp. můžeme říci, že je v daném bodě derivace nevlastní.
Říkáme, že funkce f je v bodě x diferencovatelná, pokud v tomto bodě existuje vlastní derivace.
Funkce je diferencovatelná na intervalu I, pokud je diferencovatelná v každém bodě tohoto intervalu.
Funkce nemá derivaci v místě, kde není spojitá, ale spojitost funkce existenci derivace nezaručuje – funkce může mít v daném bodě svislou tečnu (což by odpovídalo nevlastní, nekonečné derivaci), popř. v daném bodě nemusí mít tečnu vůbec (v místě, kde má graf funkce „hrot“, např. funkce absolutní hodnota v x=0). Existují dokonce funkce, které jsou spojité v každém bodě, ale nemají v žádném bodě derivaci (např. tzv. Weierstrassova funkce).
Antiderivace Z derivace lze naopak získat původní funkci integrováním, pokud známe funkční hodnotu původní funkce aspoň v jednom bodě (tzv. počáteční podmínku).
Zobecnění
Parciální derivace Zobecněním pojmu derivace pro funkce více proměnných je tzv. parciální derivace, kdy se u funkce více proměnných považuje za proměnnou jenom ta, podle které se derivuje, ostatní jsou v tomto výpočtu považovány za konstanty. Parciální derivace se značí obdobně jako obyčejné derivace, pouze místo symbolů d se používají symboly ∂, např.: značí parciální derivaci funkce podle proměnné .
Derivace v normovaných prostorech Nechť jsou normované prostory, Říkáme, že zobrazení je Fréchetovsky (Gatteauxovsky) derivovatelné v bodě v -té souřadnici pokud zobrazení (tedy, zobrazení se všemi souřadnicemi FIXOVANÝMI) je F-(G-) diferencovatelné v bodě .
Derivace ve směru Pro funkci více proměnných je derivace ve směru vektoru v definována vztahem
Pokud je funkce f v bodě x diferencovatelná, potom platí
kde je gradient funkce f v bodě x a značí skalární součin.
Hodnota derivace ve směru vektoru v záleží na velikosti vektoru |v|, proto se často vyžaduje, aby |v| = 1. Někdy se také používá definice, která na velikosti vektoru v nezávisí:
Totální (úplná) derivace Totální derivace je derivace funkce více proměnných, která na rozdíl od parciální derivace zohledňuje závislosti mezi jednotlivými proměnnými.
Komplexní derivace O komplexní funkci řekneme, že má v derivaci, pokud existuje limita
Derivace existuje pouze tehdy, pokud předchozí limita nezávisí na směru, kterým se v komplexní rovině přibližujeme ke komplexnímu bodu . Tato podmínka je vyjádřena Cauchyho-Riemannovými podmínkami.
Pokud má v bodě derivaci, pak je v spojitá.
Komplexní funkci, která má v bodě derivaci, označujeme jako monogenní v bodě . Pokud má derivaci v každém bodě oblasti , pak říkáme, že je v holomorfní. Je-li holomorfní funkce víceznačná, označujeme ji jako analytickou.
Derivace vektorů a tenzorů Derivací vektoru podle proměnné t rozumíme vektor, jehož složky získáme derivací složek vektoru , tzn.
Obdobně postupujeme při derivaci tenzorů.
Derivace vyššího řádu Derivaci funkce , tzn. , také označujeme jako první derivaci (derivaci prvního řádu). Funkci lze opět derivovat, čímž získáme druhou derivaci (derivaci druhého řádu) funkce
Dalším derivováním můžeme získat vyšší derivace funkce , které značíme , atd. Používá se také jiné značení, při němž n-tou derivaci značíme jako , popř. pro označení derivace v bodě a lze použít .
Někdy je výhodné použít také tzv. nultou derivaci funkce , za niž považujeme samotnou funkci , tzn. .
Při použití Leibnizovy notace se derivace vyšších řádů čtou jako exponenty, např. třetí derivaci čteme "d třetí y podle d x na třetí".
Derivace neceločíselného řádu, zlomkové derivace Definici lze rozšířit i na záporné a „necelé“ řády. Jako přirozené se jeví ztotožnit minus první derivaci s integrálem
a derivaci minus n-tého řádu s výrazem , neboť prvním resp. n-tým derivováním dostaneme základní funkci. Pro nepřirozené s>0 pak jen faktoriál nahradíme gama funkcí: .
Derivace reálného r-tého řádu (r>0) je pak definována jako
,
kde n je nejnižší přirozené číslo větší než r; vše za předpokladu, že existuje „vnitřní“ derivace záporného (r-n)-tého řádu.
Pozn.: Nejnižší n se bere proto, že zatímco pro záporné řády je zajištěna komutativnost a aditivnost (tj. dvě postupně provedené derivace záporného řádu, jestliže existují, jsou ekvivalentní jedné derivaci s řádem daným součtem obou řádů bez ohledu na pořadí), pro kladné řády to obecně neplatí.
Výpočty derivací Principiálně základní technikou je výpočet přímo z definice, tzn. dosazením příslušné funkce do definující limity a výpočtem této limity. Tento způsob je však obvykle (až na velice jednoduché funkce) dosti komplikovaný a v praxi se nepoužívá. Místo toho se derivace funkcí počítají ze známých derivací několika základních funkcí a jednoduchých algebraických pravidel pro jejich skládání a další úpravy.
Elementární funkce
Algebraická pravidla Ze známých derivací elementárních funkcí se derivace složitějších funkcí sestavují tak, že se složitější funkce rozloží na jednodušší pomocí jednoduchých algebraických pravidel, která pro výpočet derivací platí:
Linearita derivace: pro libovolné funkce f, g a konstanty a, b. Speciálně platí a také . Derivace součinu: pro všechny funkce f, g. Derivace podílu: pro všechny funkce f, g, kde g ≠ 0. Derivace složené funkce: Pokud , pak . Derivace inverzní funkce: Pokud jsou f(x) i f−1(x) obě diferencovatelné, pak tehdy, kdy Δx ≠ 0 pokud Δy ≠ 0, platí . Obecnější pohled podává věta o inverzní funkci. Derivace jedné proměnné vůči druhé, pokud obě jsou funkcí třetí proměnné: Pokud x = f(t) a y = g(t), pak . Derivace implicitní funkce: Pokud f(x, y) je implicitní funkce, pak . Derivace parametricky zadané funkce: Je-li funkce vyjádřena parametrickými rovnicemi , pak pro její derivace platí
Z některých předchozích pravidel je vidět, že Leibnizova notace umožňuje některé manipulace, které připomínají např. krácení zlomku. Je ale třeba podotknout, že se jedná jen o symbolické manipulace, s krácením zlomku nemající nic společného. V žádném případě pak není možné „krátit d“ stylem dx/dy = x/y.
Často používané derivace funkcí
pro , n přirozené číslo a m libovolné pro
pro pro pro
Derivaci součinu n funkcí lze zapsat jako Pro vyjádření n-té derivace součinu dvou funkci lze použít tzv. Leibnizův vzorec , kde jsou binomické koeficienty a , atd.
Konkrétní příklady f(x) = 3; f ′(x) = 0, f(x) = x; f ′(x) = 1, f(x) = 2x; f ′(x) = 2 · 1 = 2. f(x) = 5x³; f ′(x) = 15x²; f″(x) = 30x f(x) = ex; f ′(x) = ex. f(x) = ln x; f ′(x) = x−1. f(x) = x³ + 2x² − 5x + 7; f ′(x) = 3x² + 4x − 5. f(x) = sin x · cos x; f ′(x) = cos² x − sin² x (= cos 2x). ; . ; .
Aplikace Pojem derivace se objevuje v obrovském množství situací, jak v matematice samé, tak i v jejích aplikacích, např. ve fyzice.
Lokální extrémy
Pokud má daná diferencovatelná funkce nějaký lokální extrém (lokální maximum či minimum), je zřejmé, že její tečna v tomto bodě musí být vodorovná, tzn. derivace této funkce musí být v tomto bodě nulová. (Pokud funkce v nějakých bodech tečnu, resp. derivaci nemá, derivace o takových bodech samozřejmě nic prozradit nedokáže.) Pokud v tomto bodě lze spočítat i druhou derivaci, prozradí její znaménko, o jaký extrém se jedná: V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je kladná, se nachází lokální minimum. V bodech, kde je první derivace nula a druhá derivace je záporná, se nachází lokální maximum. V bodech, kde je první derivace nulová, se nachází tzv. stacionární bod, který může a nemusí být extrémem. (V bodech, kde funkce nemá první či druhou derivaci, je nutno použít jiná kritéria.)
Alternativou k rozlišení pomocí druhé derivace je znaménko první derivace: v bodě, kde má funkce lokální extrém, mění první derivace znaménko: pokud je nějaký bod lokálním minimem, pak v jeho levém okolí je první derivace záporná a v pravém okolí kladná, naopak v levém okolí lokálního maxima je první derivace kladná a v pravém záporná.