náhled|Eliakim Hastings Moore Moorova–Osgoodova věta je věta z oblasti matematické analýzy pojmenovaná po matematicích E. H. Moorovi a W. F. Osgoodovi, která charakterizuje postačující podmínku pro záměnu limit v násobných limitách.
Znění Nechť je metrický prostor, je hromadný bod a funkce splňují
existuje takové, že stejnoměrně konverguje k na pro každé platí
Potom existují vlastní limity a . Navíc, tyto limity si jsou rovny.
Důkaz Nejdříve ukážeme, že existuje limita :
Dostaneme zadané a k němu volíme tak, aby platilo . Takové existuje ze stejnoměrné konvergence na .
Mějme dále . Pro ně najdeme tak, aby platilo . Analogicky najdeme tak, aby platilo . Tato opět existují z konvergence limity.
Nyní uvážíme . Pro toto platí .
Tedy posloupnost je cauchyovská , a tedy (jelikož jsou všechny hodnoty reálné) i konvergentní a má vlastní limitu: .
Tím je splněn první cíl. Dále dokážeme, že platí rovnost, tedy .
Opět mějme zadané . K němu nalezneme takové, že . Existence takového plyne z konvergence posloupnosti . Dále najdeme tak, aby platilo . To existuje ze stejnoměrné konvergence . Nyní uvážíme libovolné a toto zafixujeme. Nalezneme .
Nakonec zvolíme . Pak , čímž jsme tvrzení dokázali.
Význam Tato věta je významná pro svou poměrně jednoduchou charakterizaci postačující podmínky pro záměnu limit.
Zároveň lze jednoduše ukázat, že pro posloupnosti konvergující nestejnoměrně nemusí záměna limit platit: příkladem je . Pak zjevně a zároveň konverguje (avšak ne stejnoměrně) k funkci . Také ovšem platí , a tedy si limity ze znění nejsou rovny.
Využití Základním využitím této věty je právě teoretická aplikace možnosti záměny pořadí limit.
Jiné znění této věty také umožňuje ukázat konvergenci jednostranné limity dvou proměnných.
Moore-Osgood Theorem - ProofWiki. proofwiki.org [online]. [cit. 2019-04-12]. Dostupné online. https://proofwiki.org/wiki/Moore-Osgood_Theorem1. Těleso komplexních čísel. Matematická sekce | Matematicko-fyzikální fakulta. Univerzita Karlova [online]. Copyright © [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~honzikpe/i3.pdf Matematická analýza_1. Matematická sekce | Matematicko-fyzikální fakulta. Univerzita Karlova [online]. Copyright © [cit. 12.04.2019]. Dostupné z: http://www.karlin.mff.cuni.cz/~pick/analyza.pdfGRAVES, Lawrence M. The theory of functions of real variables. Dover ed. Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2009. Dover books on mathematics. .TAYLOR, Angus E. General theory of functions and integration. New York: Dover Publications, 1985. .
Reference
Externí odkazy Moore-Osgood theorem for fuzzy functions. ResearchGate | Share and discover research [online]. Copyright © ResearchGate 2019. All rights reserved. [cit. 12. 4. 2019]. Dostupné z: https://www.researchgate.net/publication/266249354_Moore-Osgood_theorem_for_fuzzy_functions A Boolean Derivation of the Moore-Osgood Theorem. JSTOR: Access Check. JSTOR [online]. Copyright ©2000 [cit. 12. 4. 2019]. Dostupné z: https://www.jstor.org/stable/2266733?seq=1#metadata_info_tab_contents HOFFMAN, Kenneth. Analysis in Euclidean space. Dover ed. Mineola, N.Y.: Dover Publications, 2007. . https://epdf.tips/analysis-in-euclidean-space8d033b5dc21477810d8465ee52f782527763.html
Kategorie:Matematická analýza Kategorie:Matematické věty a důkazy