náhled|vpravo|300px|Integrální kritérium použité na harmonickou řadu. Protože plocha pod křivkou pro je nekonečná, celková plocha obdélníků musí být také nekonečná.
Integrální kritérium konvergence je v matematice metoda pro zjišťování, zda nekonečná řada s nezápornými členy konverguje. Kritérium objevili Colin Maclaurin a Augustin Louis Cauchy, proto jej někteří autoři nazývají Maclaurinovo–Cauchyovo kritérium.
Tvrzení Uvažujme celé číslo a nezápornou funkci definovanou na neomezeném intervalu , na kterém je funkce monotonně klesající. Pak nekonečná řada
konverguje k nějakému reálnému číslu právě tehdy, když nevlastní integrál
je konečný. Pokud integrál diverguje, pak řada diverguje také.
Poznámka Pokud je nevlastní integrál konečný, pak důkaz také poskytuje dolní a horní mez součtu nekonečné řady:
Důkaz Důkaz využívá srovnávací kritérium pro porovnání členu s integrálem funkce na intervalech , resp. .
Je-li je monotonně klesající funkce, pak
a
a proto pro každé celé číslo platí
a pro každé celé číslo ,
Sumací pro všechna od do , dostaneme z ()
a z ()
Zkombinování těchto dvou odhadů dostaneme
Pro jdoucí k nekonečnu dostáváme ().
Použití Harmonická řada
diverguje, protože aplikací přirozeného logaritmu, jeho primitivní funkce a použitím základní věty integrálního počtu dostaneme
A naopak, řada
(srovnejte s Riemannovou funkcí zeta) konverguje pro každé díky pravidlu pro integraci mocniny
Z () dostaneme horní odhad
který lze porovnávat s nějakými určitými hodnotami Riemannovy funkce zeta.
Hranice mezi divergencí a konvergencí Výše uvedené příklady s harmonickou řadou vyvolávají otázku, zda existují monotonní posloupnosti tak, že klesá k nule rychleji než ale pomaleji než v tom smyslu, že
pro každé a zda odpovídající řada stále diverguje. Pokud nalezneme takovou posloupnost, můžeme položit podobnou otázku, v níž má roli , atd. Tímto způsobem je možné zkoumat hranici mezi divergencí a konvergencí nekonečné řady.
Při použití integrálního kritérium konvergence můžeme ukázat (jak je uvedeno níže), že pro každé přirozené číslo řada
stále diverguje (srovnejte s důkazem, že suma převrácených hodnot prvočísel diverguje pro ) ale
konverguje pro každé . Zde označuje -násobnou aplikaci přirozeného logaritmu definovanou rekurzivně vztahem
označuje nejmenší přirozené číslo takové, že je definovaná -násobná aplikace funkce a , tj. s použitím tetrace nebo Knuthova zápisu
Pro zjištění divergence řady () pomocí integrálního kritéria si všimneme, že opakovaným použitím řetízkového pravidla
tedy
Pro zjištění konvergence řady () si všimneme, že podle pravidla o derivování mocniny, řetízkového pravidla a výše uvedeného výsledku
tedy
přičemž () dává meze pro součet nekonečné řady ().
Odkazy
Reference
Související články Kritéria konvergence řad Konvergence (matematika) Přímé srovnávací kritérium Lebesgueova věta Eulerův-Maclaurinův vzorec Limitní srovnávací kritérium Věta o monotonní konvergenci
Literatura
Kategorie:Augustin Louis Cauchy Kategorie:Integrální počet Kategorie:Kritéria konvergence