Univerzální vlastnost je v matematice v teorii kategorií vlastnost, která charakterizuje výsledek určitých konstrukcí (až na izomorfismus). Univerzální vlastnost lze díky tomu použít pro definici určitých objektů nezávisle na metodě použité pro jejich konstrukci. Například definice celých čísel z přirozených čísel, racionálních čísel z celých čísel, reálných čísel z racionální čísel a okruhů polynomů z těles jejich koeficientů mohou být všechny provedeny z hlediska univerzálních vlastností. Konkrétně koncept univerzální vlastnosti umožňuje jednoduchý důkaz, že všechny konstrukce reálných čísel jsou ekvivalentní: stačí dokázat, že vyhovují stejné univerzální vlastnosti.
Technicky je univerzální vlastnost definována v pojmech kategorií a funktorů pomocí univerzálního morfismu (viz Formální definice níže). Univerzální morfismy bychom také mohli uvažovat abstraktněji jako iniciální nebo terminální objekty čárkové kategorie (viz Souvislost s čárkovými kategoriemi níže).
Univerzální vlastnosti se v matematice objevují skoro všude a použití tohoto konceptu umožňuje použití obecných vlastností univerzálních vlastností pro snadné důkazy některých vlastností, které by se jinak dokazovaly obtížně nebo zdlouhavě. Je-li například dán komutativní okruh , podílové těleso faktorokruhu okruhu podle prvoideálu lze identifikovat s tělesem zbytkových tříd lokalizace okruhu v ; což je (všechny tyto konstrukce lze definovat pomocí univerzálních vlastností).
K dalším objektům, které lze definovat univerzálními vlastnostmi, patří: všechny volné objekty, přímé produkty a přímé součty, volné grupy, volné svazy, Grothendieckovy grupy, zúplnění metrického prostoru, zúplnění okruhu, Dedekindovo–MacNeillovo zúplnění, součinové topologie, Stoneova–Čechova kompaktifikace, tenzorové součiny, inverzní limity a přímé limity, jádra a cokernely, faktorové grupy, kvocientní vektorové prostory a jiné kvocientní prostory.
Motivace Před uvedením formální definice univerzální vlastnosti uvedeme některé motivace pro studium takových konstrukcí.
Konkrétní detaily dané konstrukce mohou být komplikované, pokud ale konstrukce splňuje univerzální vlastnost, můžeme všechny tyto detaily zapomenout: veškeré informace o konstrukci konstrukce jsou už obsaženy v univerzální vlastnosti. Důkazy se často zkrátí a zelegantní, pokud používají univerzální vlastnost místo konkrétních detailů. Například tenzorovou algebru vektorového prostoru je pomocí univerzální vlastnosti nepatrně složitější zkonstruovat, ale práce s ní je mnohem snazší. Univerzální vlastnosti definují objekty jednoznačně až na jedinečný izomorfismus. Proto jednou strategií, jak dokázat, že dva objekty jsou izomorfní, je ukázat, že vyhovují stejné univerzální vlastnosti. Univerzální konstrukce jsou svou povahou funktoriální: pokud můžeme provést konstrukci pro každý objekt v kategorii C, pak dostáváme funktor na C. Tento funktor je navíc pravým nebo levým adjunktem funktoru U použitého v definici univerzální vlastnosti. Univerzální vlastnosti se objevují všude v matematice. Porozuměním jejich abstraktním vlastnostem dostáváme informace o všech těchto konstrukcích a můžeme se vyhnout opakování stejné analýzy pro každou jednotlivou instanci.
Formální definice Pro pochopení definice univerzální konstrukce, je důležité se podívat na příklady. Univerzální konstrukce byly ne definovaný z tenké vzduch, ale byly spíše definovaný, když si matematici začali všímat určitého vzoru v mnoha matematických konstrukcích (viz Příklady níže). Definice nám tedy nemusí dávat smysl napoprvé, ale stane se jasnou, když se uvede v soulad s konkrétními příklady.
Nechť je funktor mezi kategoriemi a . Dále nechť je objekt z , a jsou objekty z , a je morfismus v .
Pak funktor převádí , a v na , a v .
Univerzální morfismus z do je jedinečná dvojice v která má následující vlastnost, obvykle označovanou jako univerzální vlastnost:
Pro libovolný morfismus tvaru v , existuje jediný morfismus v takový, že následující diagram komutuje: vpravo|Typický diagram definice univerzálního morfismu.
Tento kategoriální koncept můžeme dualizovat. Univerzální morfismus z do je jediná dvojice která vyhovuje následující univerzální vlastnosti:
Pro libovolný morfismus tvaru v existuje jediný morfismus v takový, že následující diagram komutuje:
vpravo|Nejdůležitější šipka zde je která vytváří univerzální vlastnost. Všimněte si, že v druhém diagramu jsou šipky obrácené. Obě definice jsou nezbytné pro popis univerzálních konstrukcí, které se vyskytují v matematice; ale také se objevují kvůli inherentní dualitě přítomné v teorii kategorií. V obou případech říkáme, že dvojice která se chová, jak je uvedeno výše, splňuje univerzální vlastnost.
Příklady
Produkty Kategoriální součin lze charakterizovat univerzální konstrukcí. Konkrétně můžeme uvažovat kartézský součin v Set, přímý součin v Grp nebo součinovou topologii v Top, kde existují produkty.
Nechť a jsou objekty kategorie s konečnými produkty. Součin a je objekt × spolu s dvěma morfismy
takovými, že pro libovolný jiný objekt z a morfismy a existuje jediný morfismus takový, že a .
Pro pochopení této charakterizace jako univerzální vlastnosti uvažujme kategorii jako produktovou kategorii a definujme diagonální funktor
vztahy a . Pak je univerzální morfismus z do objektu z : pokud je libovolný morfismus ze do , pak musí být roven morfismu z do následovanému . Vyjádřeno komutativním diagramem: vpravo|484x484px|Komutativní diagram ukazující, že produkty mají univerzální vlastnost. V případě kartézského součinu v Set je morfismus tvořen dvěma projekcemi a . Je-li dána libovolná množina a unikátní zobrazení takové, že požadovaný diagram komutuje, popisuje vztah .
Historie Univerzální vlastnosti různých topologických konstrukcí prezentoval Pierre Samuel v roce 1948. Později je široce používal Nicolas Bourbaki. Blízce příbuzný koncept adjungovaných funktorů představil nezávisle Daniel Kan v roce 1958.
Odkazy
Poznámky
Reference
.
.
Související články Volný objekt Přirozená transformace Adjungovaný funktor Monáda (teorie kategorií) Varieta algeber Kartézsky uzavřená kategorie
Externí odkazy nLab, wiki projekt o matematice, fyzice a filozofii s důrazem na n-kategoriální pohled André Joyal, CatLab, Wiki projekt pro prezentaci teorie kategorií
Stanford Encyclopedia of Philosophy: “Category Theory“ – autor Jean-Pierre Marquis. Rozsáhlá bibliografie. Seznam konferencí o teorii kategorií Baez, John, 1996,“The Tale of n-categories.“ Neformální úvod do kategorií vyššího řádu. WildCats – balíček pro systém Mathematica věnovaný teorii kategorií. Manipulace a vizualizace objektů, morfismy, kategorie, funktory, přirozené transformace, univerzální vlastnosti. The catsters, YouTube kanál o teorii kategorií. Video archive záznamy přednášek o kategoriích, logice a základech fyziky. Interaktivní stránka, která generuje příklady kategorických konstrukcí v kategorii konečných množin.
Kategorie:Teorie kategorií Vlastnost