La podaire d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des projetés orthogonaux de P sur les tangentes à la courbe C.
Inversement, la courbe C dont une courbe est la podaire s'appelle l'antipodaire (ou podaire inverse).
L'orthotomique d'une courbe C par rapport à un point P est le lieu géométrique des symétriques de P par rapport aux tangentes à la courbe C. L'orthotomique est donc l'image de la podaire par une homothétie de centre P et de rapport 2.
Étymologie et histoire La podaire fut étudiée par Colin Maclaurin en 1718 puis par Olry Terquem. Étymologiquement, le terme podaire provient du mot grec podos pied (pied de la perpendiculaire).
Définition mathématique
Par l'équation cartésienne Pour une équation avec une équation cartésienne sous la forme , en fixant l'origine du repère au point P, si l'équation de la tangente en s'écrit
alors le vecteur est parallèle au segment PX, et la longueur de PX, soit la distance entre la tangente et l'origine, vaut p. Donc X a pour coordonnées polaires (p, α), ce qui permet d'écrire une équation polaire de la podaire.
Par l'équation polaire Depuis P l'origine et une courbe C donnée en coordonnées polaires par . Soit un point sur la courbe et le point correspodnat sur la courbe pédale. On note l'angle entre la tangente et le vecteur rayon, parfois désigné comme angle tangentiel polaire. Il est donné par
Alors
et
De ces équations, on peut tirer une équation en p et α qui, renvoyé sur r et θ, donne une équation polaire pour la courbe pédale.
Par l'équation paramétrique L'équation paramétrique de la podaire d'une courbe paramétrée c(t) par rapport à un point P est donnée par :
Exemples
courbedonnée C pointde référence P courbepodaire droite quelconque point cercle sur le cercle cardioïde cercle quelconque limaçon de Pascal parabole foyer droite parabole sommet cissoïde de Dioclès ellipse foyer cercle hyperbole équilatère centre lemniscate de Bernoulli hyperbole foyer cercle spirale logarithmique pôle spirale logarithmique
Applications La notion de podaire peut être utilisée en mécanique du point pour l'étude des mouvements à force centrale.
Voir aussi Cercle podaire
Références
Liens externes
Sur le site Mathcurve.com
Notes et références
Catégorie:Courbe