vignette|300px|Animation de la trajectoire et de l'entrainement d'un objet au passage de l'horizon d'un trou noir en rotation (trou noir de Kerr). Vue stylisée. La « surface » du trou noir est ici modélisée par une caténoïde.
En astrophysique, un trou noir de Kerr, ainsi désigné en l'honneur du mathématicien néozélandais Roy Kerr, est un trou noir en rotation et dépourvu de charge électrique.
Plus précisément : de masse strictement positive : ; dont le moment cinétique de rotation propre n'est pas nul : , c'est-à-dire qui est en rotation axiale ; dont la charge électrique est nulle ; dont l'horizon des événements est en rotation rigide.
D'après la conjecture de calvitie, proposée par John Wheeler, il est un des quatre types théoriques de trous noirs, lire en ligne (consulté le 2 août 2014).
Il est décrit, dans le cadre de la relativité générale, par la métrique de Kerr, découverte par Roy Kerr en . La métrique est une solution exacte de à laquelle l'équation d'Einstein se réduit pour le vide en l'absence de constante cosmologique ; elle ne dépend que des deux paramètres et , c'est-à-dire la masse et le moment cinétique . L'espace-temps dont la métrique de Kerr décrit la géométrie a quatre dimensions ; il est vide mais courbe bien qu'asymptotiquement plat ; il est stationnaire et à symétrie axiale.
La métrique de Kerr ne décrit un trou noir qu'avec . La métrique de Schwarzschild correspond au cas particulier de celle de Kerr. Le trou noir extrémal que celle-ci décrit correspond au cas limite ; la température de Hawking d'un tel trou noir est nulle. Avec , la métrique de Kerr prédit l'existence de singularités nues, c'est-à-dire de singularités gravitationnelles qui, contrairement à celles des trous noirs sans rotation, ne seraient pas vraiment occultées par un horizon des événements, hypothèse à laquelle s'oppose la conjecture de censure cosmique, proposée par Roger Penrose, lire en ligne (consulté le 2 août 2014).. La métrique de Minkowski correspond au cas particulier de celle de Kerr.
Le trou noir, tel que décrit par la métrique, est un trou noir : il n'a pas de progéniteur et existe pour .
La métrique de Kerr ne peut décrire qu'un trou noir. Le théorème de Birkhoff ne lui est pas applicable et elle ne décrit pas le champ gravitationnel à l'extérieur d'une étoile en rotation, y compris pendant son effondrement gravitationnel.
L' est l'hypothèse selon laquelle tous les trous noirs astrophysiques sont, quand ils sont proches de l'équilibre, bien décrits par la métrique de Kerr. En effet, les trous noirs astrophysiques sont considérés comme neutres, dans une très bonne approximation. En , la collaboration LVK apporte une confirmation observationnelle de l'hypothèse à partir de l'étude du signal d'onde gravitationnelle GW250114.
Description lang=fr|vignette|redresse=1.3|Fig. 1 — Horizon des événements et ergosphère d'un trou noir en rotation. Les particules passant à l'intérieur de l'ergosphère peuvent, dans certaines conditions, gagner de l'énergie mécanique au détriment du trou noir puis s'en échapper. Ce dernier perd alors du moment angulaire.|lien=Fichier:Ergosphere_of_a_rotating_black_hole.svg%3Flang=fr
Contrairement au cas du trou noir sans rotation et sans charge électrique (appelé trou noir de Schwarzschild), la singularité gravitationnelle d'un trou noir de Kerr n'est pas ponctuelle mais annulaire.
D'autre part, un trou noir de Kerr possède quatre surfaces immatérielles caractéristiques : deux horizons des événements () : l'un externe (), l'autre interne () ; et deux surfaces limites de stationnarité : l'une externe, l'autre interne avec sa singularité annulaire. La limite de stationnarité externe est l'ergosphère. Alors que l'horizon des événements est décrit par une sphère de rayon , l'ergosphère est un ellipsoïde de révolution (oblate) dont le petit axe est aligné avec l'axe de rotation du trou noir et de même taille que , et le plan équatorial est de diamètre . De plus, . (voir la Fig. 1).
Masse La masse d'un trou noir de Kerr est donnée par : , avec : , où : est la masse irréductible ; est l'équivalent de l'énergie de rotation.
Pour , .
Pour , : le moment cinétique est maximal et la masse irréductible est minimale .
Pour , : le trou noir est un trou noir de Schwarzschild.
Taux de rotation du trou noir et paramètre de spin définit le taux de rotation du trou noir et a pour dimension une longueur. ne peut être supérieur à (voir espace-temps de Kerr rapide ci-dessous).
Le paramètre de spin est un paramètre sans dimension tel que , le signe représentant le sens de rotation.
Surfaces caractéristiques La géométrie des surfaces caractéristiques peut se décrire en fonction des paramètres du trou noir (sa masse réduite homogène à une distance et le paramètre de Kerr ou paramètre de spin ), de la coordonnée radiale et de la colatitude , avec constante gravitationnelle, vitesse de la lumière dans le vide et masse du trou noir.
Les quatre surfaces immatérielles d'un trou noir de Kerr sont incluses les unes dans les autres, de la plus grande à la plus petite : l'ergosphère externe, l'horizon des évènements, l'horizon de Cauchy et l'ergosphère interne avec la singularité annulaire.
Dans le cas d'un trou noir de Kerr extrême , les horizons des évènements et de Cauchy sont confondus. Pour un trou noir de Schwarzschild , l'horizon des évènements et l'ergosphère externe sont confondus, et il n'y a pas d’horizon de Cauchy ni d’ergosphère interne.
Ergosphère externe
L'ergosphère externe est dite limite statique en ce sens que les particules qui la franchissent sont obligatoirement entraînées dans le sens de rotation du trou noir, autrement dit, elles y possèdent un moment angulaire de même signe que . Cet entraînement confère du moment cinétique et de l'énergie mécanique à une particule qui pénètre dans l'ergosphère externe puis s'en échappe, de sorte que le trou noir voit son moment cinétique diminuer. C'est le processus de Penrose, qui permet de pomper de l'énergie à un trou noir en rotation.
L'ergosphère externe est décrite par l'équation polaire :
Il s'agit d'un ellipsoïde de révolution de petit axe et de grand axe .
Horizon des évènements La présence de l'horizon des évènements ne dépend pas de la rotation du trou noir, c'est une caractéristique commune à tous les types de trous noirs qui représente finalement l'essence même de ce qu'est un trou noir. Les particules qui franchissent l'horizon des évènements ne peuvent revenir dans leur univers initial (diagramme de Penrose).
Dans le cas d'un trou noir de Kerr, le rayon de l'horizon des évènements est appelé le rayon de Kerr et s'écrit : , La valeur du rayon de l'horizon du trou noir de Kerr est donc comprise entre la moitié du rayon de Schwarzschild (quand le moment cinétique est maximal, soit ) et ledit rayon (moment angulaire nul, soit , cas du trou noir de Schwarzschild).
Un observateur extérieur percevrait un décalage infini vers le rouge des rayonnements émis à l’horizon des évènements : variation infinie de l'observateur mesure une fréquence qui tend vers .
Horizon de Cauchy Le rayon de l'horizon de Cauchy s'écrit : . Un observateur sur l'horizon de Cauchy percevrait un décalage infini vers le bleu des rayonnements venant de l'extérieur : variation infinie de l'observateur voit dans son temps propre fini toute l’histoire future de l’univers compressée.
Ergosphère interne Le rayon de l'ergosphère interne s'écrit : . Singularité annulaire Un trou noir de Kerr est associé à une singularité dite singularité de Kerr dont la particularité est d'être, d'une part, annulaire (sa topologie est celle d'un anneau de rayon situé dans le plan équatorial et bordant l'ergosphère interne) et, d'autre part, du genre temps.
La singularité annulaire borde le disque qui marque la limite avec l'espace négatif (coordonnée radiale ) (diagramme de Penrose).
Métrique de Kerr Expression en coordonnées de Boyer-Lindquist L'espace-temps dont la métrique de Kerr décrit la géométrie étant stationnaire et à symétrie axiale, il admet deux vecteurs de Killing linéairement indépendants : et , respectivement associés à la stationnarité et à la symétrie axiale ; il admet un troisième vecteur de Killing défini comme la combinaison linaire des deux précédents : . Il existe un système de coordonnées d'espace-temps tel que , et .
La métrique de Kerr s'écrit généralement dans les coordonnées de Boyer-Lindquist : , où : , , , .
En coordonnées de Boyer-Lindquist, l'espace-temps est l'union disjointe de trois composantes connexes : , avec : , , , où : , .
Dans ce système de coordonnées, le métrique peut s'écrire comme suit : , avec : , et : .
est la fonction de la coordonnée dont les zéros donnent les deux horizons : .
est la fonction des coordonnées et dont le zéro donne la singularité : .
est le rayon de la base d'un cylindre autour de l'axe de symétrie.
est la vitesse angulaire d'un observateur eulérien.
La représentation tensorielle des coefficients de la métrique est la suivante :
Les coefficients de la métrique sont :
.
Dans ce même système de coordonnées, elle peut aussi s'écrire comme suit : , avec : , .
En posant et , elle est donnée par : , avec : , ,
est la coordonnée temporelle, est la coordonnée radiale, est la colatitude, est la longitude. Les points et sont les pôles et les points forment l'équateur. La droite joignant les pôles est l'axe de rotation du trou noir. Le système de coordonnées est indéfini aux pôles. En effet, lorsque et , le coefficient s'annule pour et . De plus, les coordonnées sont invalides lorsque où le coefficient g diverge (singularité dite de coordonnées) ou lorsque où les coefficients , , et divergent (singularité annulaire).
Les coefficients de la métrique (exprimée dans les coordonnées de Boyer-Lindquist) sont indépendants de et . Par conséquent, la géométrie de l'espace-temps est indépendante du temps (c'est-à-dire stationnaire) et à symétrie axiale. Autrement dit, la métrique de Kerr possède les vecteurs de Killing :
Les composantes de la métrique de Kerr exprimées avec les coordonnées de Boyer-Lindquist sont remarquables car elles sont égales au produit scalaire des coordonnées indépendantes :
Notons que si le moment cinétique par unité de masse est nul, (donc ), on obtient la métrique de Schwarzschild. Si on ajoute la contrainte , on obtient l'espace de Minkowski.
Expression en coordonnées de Kerr Il arrive que la métrique soit exprimée dans les coordonnées de Kerr où est la coordonnée de rotation du trou noir :
Dans ce cas, les coefficients sont indépendants de et .
Les relations qui relient les deux systèmes de coordonnées sont : , . L'utilisation des coordonnées de Kerr permet d'obtenir des géodésiques régulières et les trajectoires réelles des particules contrairement aux coordonnées de Boyer-Lindquist qui génèrent avec l'intégration numérique une singularité sur les horizons et un angle non représentatif à leur proximité.
Espaces-temps de Kerr Il existe trois types différents d'espace-temps de Kerr suivant l'importance relative de et , autrement dit, suivant la vitesse du moment cinétique .
L'espace-temps de Kerr lent L'espace-temps de Kerr est dit () pour . La rotation est lente (, avec la convention ).
possède alors deux racines réelles.
C'est la version de l'espace-temps de Kerr la plus souvent étudiée. L'espace-temps possède deux horizons, les sphères de rayon et disposées symétriquement à la sphère de rayon . Le lieu géométrique où est appelé indifféremment l'horizon externe ou l'horizon des événements. Concernant , on le nomme horizon interne ou horizon de Cauchy. Les deux horizons séparent l'espace-temps en trois parties distinctes nommées blocs de Boyer-Lindquist (Boyer-Lindquist Blocks) :
Bloc 1