La fonction sinus intégral, notée , est une fonction spéciale de la physique mathématique introduite par Fresnel dans l'étude des vibrations lumineuses, est définie pour tout réel par l'intégrale :
où la fonction est la fonction sinus.
Historique Cette fonction a été utilisée par Oscar Xavier Schlömilch (pour représenter certaines intégrales définies) avec la notation moderne dès 1846. Une première tabulation de cette fonction (pour entier de 1 à 10), due à Carl Anton Bretschneider, a été republiée par Schlömilch en 1848 O. Schlömilch, Analytische Studien vol. 1, 1848, p. 196. Jean Denis Fenolio a publié en 1857 un mémoireJ. D. Fenolio, Essai sur le sinus intégral, Turin, imprimerie royale, 1857 suggérant plusieurs formules pour le calcul numérique de la fonction . a publié en 1868 D. Besso, « Sull'integral seno e l'integral coseno », dans Giornale di matematiche (), vol. 6, 1868, p. 313 une table de valeurs de pour multiple entier de .
Une tabulation plus précise que celles de Bretschneider et Besso a été publiée en 1870 par J. W. L. Glaisher J. W. L. Glaisher, « Tables of the Numerical Values of the Sine-integral, Cosine-integral, and Exponential-integral », dans Philos. Trans. R. Soc., vol. 160, 1870, p. 387, qui donne aussi un historique de l'utilisation de cette fonction dans la littérature mathématique. Des tables détaillées des fonctions cosinus intégral, exponentielle intégrale et sinus intégral ont été publiées en 1940 par la , sous la direction d'Arnold D. Lowan Arnold L. Lowan (éd.), Tables of Sine, Cosine and Exponential Integrals, t. 1 et t.2, New York, 1940. L'introduction du volume 1 de ces tables contient (p. 26) une bibliographie des applications de ces fonctions en physique et en ingénierie.
Propriétés La fonction est continue, infiniment dérivable sur ℝ, et où est la fonction sinus cardinal. La fonction est développable en série entière sur , et on a : Ce développement permet d'étendre la fonction en une fonction entière. La fonction sinus intégral peut s'écrire sur la forme d'une fonction hypergéométrique :
. Il s'agit de l'intégrale de Dirichlet. Une formule intéressante : (coefficient binomial généralisé).
Sinus intégral généralisé
La fonction sinus intégral généralisée est définie, pour complexe de partie réelle , par: . On a alors :
, où est une fonction de Fresnel.
Cette fonction a été utilisée dans l'étude du phénomène de Gibbs.
Calcul numérique Des manières efficaces de calculer une valeur du sinus intégral existent, selon la valeur de l'argument. Si pour de petites valeurs, le développement de Taylor peut suffire pour atteindre une bonne précision, le calcul de la fonction pour de grandes valeurs passent par une réécriture en fonction hypergéométrique ou en série de Fourier-Tchebychev.
Références
Voir aussi Bibliographie Eugen Jahnke et , Tables of higher functions, McGraw Hill, 1960, p. 18
Articles connexes Intégrale trigonométrique Cosinus intégral Exponentielle intégrale Logarithme intégral
Liens externes Sine Integral dans functions.wolfram.com
N. M. Temme, « Exponential, Logarithmic, Sine, and Cosine Integrals » dans dlmf.nist.gov « The Special Function Si(x) », dans le Dynamic Dictionary of Mathematical Functions
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