Le logarithme discret est un objet mathématique utilisé en cryptologie. C'est l'analogue du logarithme réel qui est la réciproque de l'exponentielle, mais dans un groupe cyclique G fini.
Le logarithme discret est utilisé pour la cryptographie à clé publique, typiquement dans l'échange de clés Diffie-Hellman et le chiffrement El Gamal. La raison est que, pour un certain nombre de groupes, on ne connait pas d'algorithme efficace pour le calcul du logarithme discret, alors que celui de la réciproque, l'exponentiation, se réalise en un nombre de multiplications logarithmique en la taille de l'argument (voir exponentiation rapide),
Définition On considère un groupe cyclique G fini d'ordre n (dont la loi est notée multiplicativement) et un générateur b de G. Alors chaque élément x de G peut être écrit sous la forme pour un certain entier k ; de plus, deux quelconques de ces entiers sont nécessairement congrus modulo n. Le logarithme discret peut être défini comme le plus petit entier naturel k vérifiant cette propriété (il en existe un seul tel que ).. C'est donc une application réciproque de l'exponentiation .
Exemple On considère le groupe cyclique fini et le générateur 3. +Éléments de 303132333435132645
On a successivement , , . Dans ℤ, on a donc . De façon générale, dans ce groupe et pour le même générateur, le logarithme discret de x est le plus petit entier k tel que . +Logarithme discret de x en base 3x123456log3 x021453
Logarithme discret comme isomorphisme de groupes Le logarithme discret peut aussi se définir comme la fonction logb de G dans ℤn (où ℤn désigne l'anneau des entiers modulo n) en associant à tout élément x de G la classe de congruence de k modulo n. Cette fonction est un isomorphisme de groupes, appelé logarithme discret de base b.
Par exemple, le logarithme discret en base 3 est une application du groupe cyclique fini (ℤ, ×) dans (ℤ6, +).
Propriétés
La formule de changement de bases pour les logarithmes ordinaires reste valide : si c est un autre générateur de G, alors
Pour certains groupes, le calcul des logarithmes discrets s'avère difficile, tandis que le problème inverse, l'exponentiation discrète, ne l'est pas (grâce à l'algorithme d'exponentiation rapide) ; cette asymétrie est exploitée en cryptologie, pour la cryptographie à clé publique. On a d'abord utilisé les groupes cycliques ℤ (constitués des nombres muni de la multiplication modulo le nombre premier p) pour p suffisamment grand (au moins ) et avec au moins un « grand » facteur premier. On utilise également, déjà depuis quelque temps, les sous-groupes cycliques du groupe associé à une courbe elliptique sur un corps fini (Voir cryptologie sur les courbes elliptiques).
Algorithmes Il existe plusieurs algorithmes pour le logarithme discret qui peuvent être plus efficaces que la recherche exhaustive, mais on n'en connaît aucun en temps polynomial en la taille des entrées.
Par exemple l'algorithme de Silver-Pohlig-Hellman peut être utilisé pour calculer le logarithme discret dans un groupe cyclique, si p – 1 est un produit de petits nombres premiers, ce qui oblige à l'éviter dans ce genre d'applications. L' fonctionne dans les groupes ℤp*.
En voici quelques autres :
Baby-step giant-step Algorithme rho de Pollard Algorithme de Pohlig-Hellman Crible spécial de corps de nombres (SNFS) Crible algébrique, également appelé Crible général de corps de nombres (GNFS)
Le , le CNRS a publié un communiqué de presse annonçant la résolution d'un pan du problème du logarithme discretUn nouvel algorithme secoue la cryptographie.. La conclusion de l'article de recherche correspondantA Heuristic Quasi-Polynomial Algorithm for Discrete Logarithm in Finite Fields of Small Characteristic. est qu'il devient inenvisageable de faire reposer des applications cryptographiques sur la difficulté de ce problème dans le cas particulier pour lequel ces avancées ont eu lieu (lorsque l'on est dans un corps fini de petite caractéristique). Cependant, la grande majorité des techniques de chiffrement ne sont pas concernées par ce résultatLa principale conséquence de ce résultat a été de bannir l'utilisation des courbes elliptiques supersingulières pour les couplages. (le chiffrement RSA par exemple est utilisé sur l'anneau ℤ/nℤ de caractéristique n dont la longueur conseillée en 2016 est de 2048 bitsVoir les recommandations du NIST : ).
Notes et références
Annexes
Bibliographie
Articles connexes Hypothèse décisionnelle de Diffie-Hellman Chiffrement El Gamal
Liens externes .
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