En mathématiques, plus précisément en topologie, on appelle espace de Cantor l'espace produit , où est muni de la topologie discrète.
Propriétés
C'est un espace compact métrisable à base dénombrable (en fait, pour un espace compact, être métrisable ou être à base dénombrable sont des propriétés équivalentes) et totalement discontinu, qui a la propriété suivante :
Tout espace métrisable à base dénombrable totalement discontinu est homéomorphe à un sous-espace de K.
Cela fournit en particulier un moyen commode pour compactifier les espaces métrisables à base dénombrable totalement discontinus. On en déduit que tout est isomorphe à une partie de K munie de la tribu induite par la tribu borélienne de K.
L'espace de Cantor est de dimension 0. D'après un théorème de Brouwer, tout compact métrisable non vide totalement discontinu et parfait ( sans point isolé) lui est homéomorphe. (par exemple : l'ensemble de Cantor). Un corollaireCorollaire 3.2 par Todd Trimble dans . est que si X est un espace localement compact mais non compact, à base dénombrable, totalement discontinu et parfait (par exemple : l'espace de Cantor privé d'un ensemble fini non vide de points), alors le compactifié d'Alexandrov de X est homéomorphe à l'espace de Cantor. C'est un sous-espace de l'espace de Baire N (qui est naturellement muni d'une distance ultramétrique) et du cube de Hilbert [0, 1]. C'est aussi, en probabilités, l'espace canonique sur lequel on construit le jeu de pile ou face. Il a la puissance du continu, et (le théorème d'isomorphisme de Kuratowski est plus puissant).
Notes et références
Liens externes
Cantor Catégorie:Georg Cantor