En álxebra elemental, o teorema do binomio (ou expansión binomial) describe a expansión alxébrica das potencias dun binomio. Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio nunha suma que implique termos da forma , onde os expoñentes e son enteiros non negativos con e o coeficiente de cada termo é un número enteiro positivo específico que depende de e . Por exemplo, para ,O coeficiente no termo de coñécese como coeficiente binomial ou (os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar e pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal. Estes números tamén aparecen en combinatoria, onde dá o número de combinacións diferentes (é dicir, subconxuntos) de elementos que se poden escoller entre un conxunto de elementos, e de aí podemos ler " sobre " ou " en ".
Teorema Segundo o teorema, a expansión de calquera potencia enteira non negativa do binomio é unha suma da formaonde cada un é un número enteiro positivo coñecido como coeficiente binomial, definido comoUsando o sumatorio, pódese escribir de forma máis concisa comoPara o binomio con resta temos alternancia no signo de cada termo:
Unha variante simple da fórmula binomial obtense substituíndo por , de xeito que só implica unha única variábel:
Exemplos Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial:
os expoñentes de nos termos son (o último termo contén implicitamente ); os expoñentes de nos termos son (o primeiro termo contén implicitamente ); os coeficientes forman a ésima fila do triángulo de Pascal; hai termos, e os seus coeficientes suman .
Coeficientes binomiais
Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse coeficientes binomiais . Estes adoitan escribirse e pódese ler como " sobre ", combinacións de elementos tomados en grupos de elementos.
O coeficiente de vén dado pola fórmula O coeficiente binomial pódese interpretar como o número de formas de escoller elementos dun conxunto de elementos.
Xeneralizacións
Teorema binomial xeneralizado de Newton
Isaac Newton xeneralizou a fórmula para exponentes reais, considerando unha serie infinita:
onde pode ser calquera número real e os coeficientes están dados polo produto:
Expresado co símbolo de Pochhammer: .
Estas fórmulas converxen e a igualdade é certa sempre que os números reais ou complexos e sexan suficientemente próximos, no sentido de que e o valor absoluto de sexa menor que 1.
A expansión para a potencia recíproca é a seguinte:
Exemplos (lembrando que ):
Teorema Multinomial
O teorema do binomio pode ser xeneralizado para incluír potencias de sumas de máis de dous termos. En xeral:
Nesta fórmula, a suma faise sobre tódolos valores enteiros naturais desde ata de tal modo que a suma de todos estes valores sexa igual a . Os coeficientes do sumatorio, calcúlanse segundo a fórmula:
Desde o punto de vista da combinatoria, o coeficiente multinomial conta o número de diferentes maneiras de dividir un conxunto de elementos en subconxuntos disxuntos de tamaños
Teorema multi-binomial A miúdo é útil, cando se traballa en máis dunha dimensión, usar produtos de expresións binomiais:
A fórmula anterior pode ser escrita usando a notación multi-índice como segue:
Regra xeral de Leibniz A regra xeral de Leibniz dá a derivada -ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio: Aquí, o superíndice indica a derivada -ésima dunha función, .
Aplicacións
Identidades de ángulos múltiples Para os números complexos o teorema binomial pódese combinar coa fórmula de De Moivre para obter fórmulas de ángulos múltiples para o seno e o coseno. Segundo a fórmula de De Moivre,e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemploMais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con , asíque son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa queA fórmula de De Moivre resultaEn xeral,eTamén hai fórmulas similares usando os polinomios de Chebyshev.
Serie para e O número adoita definirse pola fórmulaAplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a serie infinita usual para :O -ésimo termo desta suma éCando , a expresión racional da dereita achégase a , e polo tantoIsto indica que pódese escribir como unha serie:
Probabilidade O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da distribución binomial negativa. A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes con probabilidade de éxito nos que non aconteza ningún sería
Un límite superior para esta cantidade é
En álxebra abstracta O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos e nun anel, ou mesmo nun semianel, sempre que . Por exemplo, vale para dúas matrices , sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz. Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).
Notas
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Distribución binomial Teorema binomial inverso Aproximación de Stirling Teorema de Tannery Grupo simétrico Coeficeinte binomial de Gauss Ligazóns externas
Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
Categoría:Polinomios Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas binomio