miniatura| A botella de Klein, inmersa nun espazo de dimensión 3. En matemáticas, unha inmersión é unha función diferenciable entre variedades diferenciables cuxo pulo diferencial é inxectivo en tódalas partes.Esta definición está dada por , , , , , , , . Explicitamente, é unha inmersión se

é unha función inxectiva en cada punto de (onde denota o espazo tanxente dunha variedade nun punto en ). De forma equivalente, é unha inmersión se a súa derivada ten rango constante igual á dimensión de : Esta definición está dada por , .

A propia función non ten por que ser inxectiva, só debe selo a súa derivada.

Un concepto relacionado é o de mergullo. Un mergullo suave é unha inmersión inxectiva que tamén é unha mergullo topolóxico, polo que é difeomorfo á súa imaxe en . Unha inmersión é precisamente un mergullo local, é dicir, para calquera punto hai unha veciñanza, , de tal que é un mergullo e, pola contra, un mergullo local é unha inmersión. Esta definición, baseada en difeomorfismos locais está dada por , . Para variedades de dimensións infinitas, ás veces considérase que esta é a definición dunha inmersión. Este tipo de definición para infinitas dimensións está dada por . miniatura| Unha subvariedade inmersa inxectivamente que non é un mergullo. Se é compacta, unha inmersión inxectiva é un mergullo, mais se non é compacto, as inmersións inxectivas non teñen por que ser mergullos; compare con bixeccións continuas versus homeomorfismos.

Homotopía regular Unha homotopía regular entre dúas inmersións e dunha variedade cara unha variedade defínese como unha función diferenciable tal que para todo en a función definida por para todo é unha inmersión, con , . Unha homotopía regular é, polo tanto, unha homotopía mediante inmersións.

Clasificación Hassler Whitney iniciou o estudo sistemático das inmersións e das homotopías regulares na década de 1940, demostrando que para todo mapa dunha variedade -dimensional cara unha variedade -dimensional é homotópico a unha inmersión, e de feito a un mergullo para ; estes son o teorema de inmersión de Whitney e o teorema do mergullo de Whitney.

Stephen Smale expresou as clases de homotopías regulares de inmersións como os grupos de homotopía dunha determinada variedade de Stiefel. A eversión da esfera foi unha consecuencia especialmente rechamante.

Morris Hirsch xeneralizou a expresión de Smale nunha descrición na teoría da homotopía das clases regulares de inmersións de homotopía de calquera variedade -dimensional en calquera variedade -dimensional .

A clasificación de inmersións de Hirsch-Smale foi xeneralizada por Mikhail Gromov.

Existencia miniatura| A banda de Möbius non inmersiona na codimensión 0 porque o seu fibrado tanxente non é trivial. A obstrución principal á existencia dunha inmersión é o fibrado normal estable de , tal e como detectan as súas clases características, especialmente as súas Clase de Stiefel-Whitney. É dicir, xa que é paralelizable, a regresión do seu fibrado tanxente a é trivial; xa que esta regresión é a suma directa do fibrado tanxente (definido intrínsecamente) sobre , , que ten dimensión , e do fibrado normal da inmersión , que ten dimensión , para que exista unha codimensión inmersión de , debe haber un fibrado vectorial de dimensión , , substituíndo ao feibrado normal , tal que é trivial. Pola contra, dado un fibrado deste tipo, unha inmersión de con este fibrado normal equivale a unha inmersión de codimensión 0 do espazo total deste fibrado, que é unha variedade aberta.

Codimensión 0 As inmersións de codimensión 0 son equivalentemente submersións de dimensión relativa 0, e pódense pensar mellor como submersións. Unha inmersión de codimensión 0 dunha variedade pechada é precisamente un mapa de cobertura, é dicir, un fibrado con fibra (discreta) de dimensión 0. Segundo o teorema de Ehresmann e o teorema de Phillips sobre as submersións, unha submersión propia de variedades é un fibrado, polo que as inmersións/submersións de codimensión/dimensión relativa 0 compórtanse como submersións.

Puntos múltiples Un punto -tupla (duplo, triplo, etc.) dunha inmersión é un conxunto non ordenado } de distintos puntos coa mesma imaxe . Se é unha variedade -dimensional e é unha variedade n-dimensional daquela para unha inmersión en posición xeral o conxunto de puntos das -tuplas é unha variedade -dimensional. Todo mergullo é unha inmersión sen múltiples puntos (onde ). Teña en conta, porén, que a inversa é falsa: hai inmersións inxectivas que non son mergullos.

A natureza dos puntos múltiples clasifica as inmersións; por exemplo, as inmersións dun círculo no plano clasifícanse ata a homotopía regular polo número de puntos duplos.

Exemplos e propiedades miniatura| O cuadrifolio, a rosa de 4 pétalos.

Unha rosa matemática con pétalos é unha inmersión do círculo no plano cun único punto -tupla; pode ser calquera número impar, mais se é par debe ser múltiplo de 4, polo que a cifra 8, con , non é unha rosa. A botella de Klein, e todas as demais superficies pechadas non orientables, poden ser inmersas en 3-espazos mais non mergulladas. Polo teorema de Whitney-Graustein, as clases de homotopía regular de inmersións do círculo no plano clasifícanse polo índice, que tamén é o número de puntos duplos contados alxebricamente (é dicir, con signos). A eversión da esfera (esfera revirada cara a fóra): o mergullo estándar está relacionado con por unha homotopía regular de inmersións A superficie de Boy é unha inmersión do plano proxectivo real no 3-espazo; e tamén unha inmersión 2 a 1 da esfera. A superficie de Morin é unha inmersión da esfera; tanto ela como a superficie de Boy xorden como modelos intermedios na eversión da esfera.

Curvas planas inmersas miniatura| Esta curva ten curvatura total 6, e índice de voltas 3, aínda que só ten un índice de curva 2 sobre . As curvas planas inmersas teñen un índice de voltas ben definido, que se pode definir como a curvatura total dividida por 2. Este valor é invariante baixo a homotopía regular polo teorema de Whitney-Graustein; topoloxicamente, é o grao do mapa de Gauss, ou equivalentemente, o índice da curva da tanxente unitaria (que non desaparece) sobre a orixe. Alén diso, son un conxunto completo de invariantes: dúas curvas planas calquera co mesmo índice topolóxico son homotópicas regulares.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

.

. .

.

.

.

. . .

.

. Outros artigos Mergullo (matemáticas). Ligazóns externas Immersion no Manifold Atlas Immersion of a manifold na Encyclopedia of Mathematics

Categoría:Xeometría diferencial Categoría:Topoloxía Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas