En álxebra abstracta, o teorema fundamental dos homomorfismos, tamén coñecido como primeiro teorema do isomorfismo, relaciona a estrutura de dous obxectos entre os que se dá un homomorfismo, e do núcleo e a imaxe do homomorfismo.
Este teorema utilízase para demostrar os teoremas do isomorfismo .
Versión para grupos miniatura| Diagrama do teorema fundamental dos homomorfismos, onde f é un homomorfismo, N é un subgrupo normal de G, e temos que e define o elemento de identidade de G. Dados dous grupos G e H e un homomorfismo de grupos , sexa N un subgrupo normal en G e φ o homomorfismo sobrectivo natural (onde é o grupo cociente de G por N). Se N é un subconxunto de ker(f) entón existe un único homomorfismo tal que .
Noutras palabras, a proxección natural φ é universal entre os homomorfismos en G que mapean N no elemento identidade.
A situación descríbese no seguinte diagrama conmutativo:
Ficheiro:Fundamental_Homomorphism_Theorem_v2.svg
h é inxectiva se e só se . Polo tanto, estabelecendo , obtemos inmediatamente o primeiro teorema do isomorfismo .
Podemos escribir o enunciado do teorema fundamental dos homomorfismos de grupos como "toda imaxe homomorfa dun grupo é isomorfa a un grupo cociente".
Proba A demostración dedúcese a partir de dous feitos básicos sobre homomorfismos, a saber, a súa conservación da operación de grupo e a súa correspondencia entre os elementos identidade. Temos que demostrar que se é un homomorfismo de grupos, entón:
é un subgrupo é isomorfo a
Proba de 1 A operación que se conserva por é a operación do grupo. Se , entón existen elementos tal que e . Para estes e temos (posto que preserva a operación do grupo), e así, a propiedade de peche está satisfeita en . O elemento identidade tamén está en porque mapea o elemento de identidade de no identidade de . Posto que cada elemento en ten un inverso tal que (porque preserva a propiedade inversa tamén), temos un inverso para cada elemento en , polo tanto, é un subgrupo de .
Proba de 2 Construír un mapa por . Este mapa está ben definido, pois se , entón e así que dá . Este mapa é un isomorfismo. é sobrexectivo sobre por definición. Para mostrar a inxectividade, se , entón , o que implica así que . Finalmente,
por tanto preserva a operación do grupo. Por tanto é un isomorfismo entre e , o que completa a proba.
Aplicacións A versión de grupos do teorema fundamental dos homomorfismos pode ser usada para mostrar que dous grupos son isomorfos. A continuación móstranse dous exemplos.
Enteiros módulo n Para cada , considere os grupos e e un homomorfismo de grupo definido por (ver aritmética modular). A continuación, considere o kernel de , , que é un subgrupo normal en . Existe un homomorfismo sobrexectivo natural definido por . O teorema afirma que existe un isomorfismo entre e , ou noutras palabras . O diagrama conmutativo está ilustrado a continuación.
150x150px
Teorema N/C Sexa un grupo con subgrupo . Sexan , e o centralizador, o normalizador e o grupo de automorfismos de en , respectivamente. Daquela, o teorema N/C afirma que é isomorfo a un subgrupo de .
A proba Podemos atopar un homomorfismo de grupos definido por , para todo . Claramente, o kernel de é . Por tanto, temos un homomorfismo sobrexectivo natural definido por . O teorema fundamental dos homomorfismos afirma entón que existe un isomorfismo entre e , que é un subgrupo de .
Outras versións Teoremas similares son válidos para monoides, espazos vectoriais, módulos e, aneis. Notas
Véxase tamén
Bibliografía
Outros artigos Categoría cociente. Ligazóns externas Matthew Macauley The fundamental homomorphism theorem.
Categoría:Álxebra abstracta Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas