thumb|right|Proba sen palabras da PR é o diámetro dunha circunferencia centrada en O; o seu raio AO é a media aritmética de a e b. Usando o teorema da media xeométrica, a altura GQ do triángulo PGR é a media xeométrica. Para calquera proporción temos que <noinclude>
En matemáticas, a desigualdade das medias aritmética e xeométrica, ou máis brevemente a desigualdade AM-GM, afirma que a media aritmética dunha lista de números reais non negativos é maior ou igual á media xeométrica da mesma lista; e a maiores, que as dúas medias son iguais se e só se todos os números da lista son iguais (neste caso o resultado é precisamente ese número).
O caso non trivial máis sinxelo é para dous números non negativos e , é dicir,
con igualdade se e só se . Isto débese ao feito de que o cadrado dun número real é sempre non negativo (maior ou igual a cero) e da identidade :
Polo tanto , con igualdade cando , é dicir, . A desigualdade AM-GM dedúcese logo de tomar a raíz cadrada positiva de ambos os dous lados e despois dividir os dous lados por 2.
O caso máis sinxelo está implícito nos Elementos de Euclides, Libro 5, Proposición 25.
As extensións da desigualdade AM-GM tratan as medias ponderadas e as medias xeneralizadas.
Fundamentos A media aritmética, ou menos precisamente a media, dunha lista de números é a suma dos números divididos entre :
A media xeométrica é similar, agás que só se define para unha lista de números reais non negativos, e usa multiplicación e raíz en lugar de suma e división:
Se , isto é igual á exponencial da media aritmética dos logaritmos naturais dos números:
A desigualdade Reformulando a desigualdade usando notación matemática, temos que para calquera lista de números reais non negativos ,
e o caso da igualdade cúmprese se e só se .
Interpretación xeométrica En dúas dimensións, é o perímetro dun rectángulo con lados de lonxitude e . Podemos ver que, é o perímetro dun cadrado coa mesma área que ese rectángulo. Así, para a desigualdade AM-GM indica que un rectángulo dunha área determinada ten o perímetro máis pequeno se ese rectángulo tamén é un cadrado.
Exemplos
Exemplo 1 Se , entón a desigualdade AM-GM dinos que
Exemplo 2 Pódes atopar un límite superior simple para o factorial . AM-GM dinos
e así
con igualdade en .
De forma equivalente,
Exemplo 3 Considere a función
para todos os números reais positivos , e . Supoñamos que queremos atopar o valor mínimo desta función. Pódese reescribir como:
con
Aplicando a desigualdade AM-GM para , obtemos
A maiores, sabemos que os dous lados son iguais exactamente cando todos os termos da media son iguais:
Todos os puntos que cumpren estas condicións atópanse nunha media recta que comeza na orixe e están dados por
Aplicacións
Rendibilidades anualizadas En matemáticas financeiras, a desigualdade AM-GM mostra que o rendemento anualizado, a media xeométrica, é menor que o rendemento anual medio, a media aritmética.
Polinomios non negativos O polinomio de Motzkin é un polinomio non negativo que non é unha suma de polinomios cadrados. Pódese demostrar que é non negativo usando a desigualdade AM-GM con , , e , é dicir,
Simplificando e multiplicando ambos os lados por 3 dá:
así
Notas
Véxase tamén
Outros artigos Desigualdade dos produtos de Young Desigualdades QM-AM-GM-HM
Ligazóns externas
Categoría:Desigualdades Categoría:Wikipedia:Páxinas con traducións non revisadas