Del, ou nabla, é un operador utilizado en matemáticas (particularmente en cálculo vectorial) como un operador diferencial vectorial, normalmente representado por ∇ (o símbolo nabla). Cando se aplica a unha función definida nun dominio uni-dimensional , denota a derivada estándar da función, definida no cálculo diferencial. Cando se aplica a un campo (unha función definida nun dominio multi-dimensional), pode denotar calquera de tres operacións que dependen do xeito en que é aplicado: o gradiente ou pendente máis empinada (localmente) dun campo escalar (ou ás veces dun campo vectorial), para dar un campo vectorial, chamado o gradiente, como nas Ecuacións de Navier-Stokes); como un produto escalar formal (a diverxencia dun campo vectorial); e por último, pode actuar en campos vectoriais como un produto vectorial formal, para dar un campo chamado o rotacional.
Estes tres usos están resumidos como:
Gradiente: Diverxencia: Rotacional:
Definición No sistema de coordenadas cartesianas de , con coordenadas respecto da base canónica , Del é un operador vectorial cuxas compoñentes son os operadores derivadas parciais ; isto é,
onde a expresión entre parénteses é un vector fila. No sistema cartesiano tridimensional de coordenadas , con coordenadas e a base canónica de vectores unitarios dos eixos , Del escríbese como:
Como operador vectorial, Del actúa naturalmente sobre campos escalares a través da multiplicación por escalares, e actúa naturalmente sobre campos vectoriales mediante o produto escalar e o produto vectorial.
Máis especificamente, para calquera campo escalar e calquera campo vectorial , se definimos
entón utilizando a definición de de máis arriba, un pode escribir
e
Exemplo:
Del tamén pode ser expresado noutros sistemas de coordenadas, ver por exemplo Del en coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas.
Etimoloxía
O símbolo coñécese habitualmente como nabla ou del. O nome nabla provén do grego ναβλά, que designaba un instrumento musical semellante a unha arpa triangular, cuxa forma lembra a do símbolo.
O nome del, pola súa banda, é un termo informal utilizado para referirse ao operador diferencial . Foi introducido por William Rowan Hamilton no contexto do seu traballo sobre os cuaternións, e popularizado posteriormente no século XIX na formulación do cálculo vectorial. O nome pode derivar da palabra delta, empregada para diferenzas e derivadas, ou simplemente ser unha forma breve e fonética derivada da letra d empregada nas derivadas.
Mentres nabla se refire propiamente ao símbolo , del designa o seu uso como operador.
Véxase tamén Bibliografía Historia do símbolo Nabla: "Nabla no es una letra griega" Cleve Moler, ed., "History of Nabla", NA Digest 98 (Jan. 26, 1998).
Categoría:Cálculo vectorial