dereita|miniatura|279x279px|Unha imaxe dun fractal tipo fento (fento de Barnsley) que amosa autosemellanza afín. Cada unha das follas do fento está relacionada con outra mediante unha transformación afín. Por exemplo, a folla vermella pódese transformar tanto na folla azul escuro como en calquera das outras mediante unha combinación de reflexión, rotación, escalado e translación. En xeometría afín, unha afinidade ou transformación afín (tamén chamada aplicación afín) é unha aplicación entre dous espazos afíns que conserva a súa estrutura afín. Isto quere dicir que unha afinidade leva variedades lineais en variedades lineais mantén propiedades como o paralelismo ou a razón simple.

A diferenza das transformacións lineais, unha afinidade non require fixar a orixe de coordenadas, o que permite incluír traslacións. En xeral, unha transformación afín está composta por transformacións lineais (rotacións, escalados ou cizallamentos) e traslacións ou desprazamentos.

Definición Unha afinidade entre dous espazos afíns e é unha aplicación sobre os puntos que actúa linealmente sobre os vectores que os unen. Formalmente, é unha transformación afín si existe unha aplicación lineal tal que

Observación: Nótese que a aplicación lineal asociada a unha afinidade é única.

Propiedades Recoméndase consultar a páxina de espazo afín en caso de dúbida coa notación ou resultados empregados. Consideremos para o que segue os espazos afíns e .

Propiedade 1. Unha afinidade ten asociada a aplicación lineal se e só se para todo e , onde é o único punto que verifica

Demostración. Como é bixectiva, para cada existe un único tal que ou equivalentemente Basta entón con notar que, dados e ,a condición é equivalente a

Propiedade 2. Se son afinidades de aplicación lineal asociada , entón se e só se para algún .

Demostración. Se son afinidades de aplicación lineal asociada , entón e para calquera par de puntos Equivalentemente, e , logo se e só se

Propiedade 3. Dada unha aplicación lineal e dous puntos e , existe e é única a afinidade que verifica e para todo e .

Demostración. Pola propiedade anterior, tense a unicidade da única afinidade tal que e para todo e . En particular, é a afinidade dada pola expresión para calquera . Efectivamente, se consideramos dous puntos , aplicando a regra de Chasles

logo é unha afinidade.

Véxase tamén Bibliografía

Outros artigos

Espazo afín Espazo euclidiano Teorema de Pitágoras Variedade lineal

Categoría:Álxebra lineal Categoría:Xeometría afín Affinity