En matemáticas, en particular, no eido das ecuacións diferenciais ordinarias, o teorema de existencia de Peano (tamén coñecido como teorema de Peano, ou teorema de Cauchy-Peano, denominación que fai referencia a Giuseppe Peano e Augustin Louis Cauchy), é un teorema fundamental que garante a existencia de solucións para unha certa clase de problemas con valores iniciais, tamén coñecidos como problemas de Cauchy.
Enunciado do teorema
Teoremas vencellados O teorema de Peano pode compararse con outros resultados acerca da existencia no mesmo contexto, o teorema de Picard-Lindelöf. No teorema de Picard–Lindelöf asúmense máis condicións sobre as propiedades da función , permitindo chegar a conclusións máis fortes, como a deducción da unicidade de solución, requirindo da continuidade de Lipschitz(con que sexa de tipo local respecto de é suficiente. Para máis información: función lipschitziana, teorema de Picard-Lindelöf). Agora ben, o teorema de Peano emprega só a continuidade, garantindo exclusivamente a existencia de solucións. Para ilustralo, considérase a seguinte EDO:
, que ten como dominio
Segundo o teorema de Peano, nesta situación é posible garantir a existencia de solucións, mais non se pode afirmar ren sobre a unicidade, xa que non se verifican as hipóteses do teorema de Picard-Lindelöf, concretamente non se dá a continuidade de Lipschitz en ningunha contorna dos puntos tales que . Así conclúese que hai existencia sen unicidade. A ecuación devandita ten dúas clases de solucións elementais, as cales cortan entre si escollendo axeitadamente:
,
O teorema de existencia de Carathéodory é unha xeneralización do teorema de existencia de Peano, pedindo condicións máis débiles para a continuidade.
Véxase tamén Bibliografía
Outros artigos Ecuación diferencial ordinaria Función continua Función lipschitziana Teorema de Picard-Lindelöf Ligazóns externas
Categoría:Teoremas Categoría:Ecuacións diferenciais Categoría:Análise matemática