No eido das matemáticas, concretamente no cálculo vectorial, o teorema da diverxencia, tamén coñecido como teorema de Gauss ou teorema de Gauss–Ostrogradski, é un teorema que relaciona o fluxo dun campo vectorial a través dunha superficie pechada coa diverxencia do campo no volume delimitado por devandita superficie.
Equivalentemente, o teorema establece que a integral de superficie dun campo vectorial sobre unha superficie pechada é igual á integral de volume da diverxencia do campo sobre a rexión interior. Este resultado constitúe unha ferramenta fundamental en áreas como o electromagnetismo, a mecánica de fluídos e a física matemática, xa que permite vencellar as propiedades locais dun campo co seu comportamento global.
O teorema da diverxencia é sumamente relevante na física e a enxeñaría, particularmente na electrostática e mecánica de fluídos. Nestes campos, normalmente emprégase o teorema en tres dimensións, con todo, pode xeneralizarse a calquera número de dimensións; nunha dimensión é o equivalente á integración por partes e en dúas dimensións é equivalente ao teorema de Green.
Historia Joseph-Louis Lagrange introduciu a notación de integral de superficie en 1760, e en 1811 fíxoo en termos máis xerais na segunda edición de Mécanique Analytique. Lagrange empregou integrais de superficie no seu traballo de mecánica de fluídos. Foi el quen descubriu o teorema da diverxencia en 1762.
Carl Friedrich Gauss tamén empregou integrais de superficie mentres estivo a traballar na atracción gravitacional dunha esfera elíptica en 1813, cando demostrou casos particulares do teorema da diverxencia, mais foi Mijaíl Ostrogradski quen deu a primeira demostración xeral do teorema en 1826 como parte da súa investigación. Algúns casos especiais foron probados por George Green en 1828 no seu An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism e Siméon Denis Poisson en 1824 nun documento relacionado con elasticidade.
Teorema Sexa unha rexión sólida, acoutada por unha superficie pechada . Se é un campo vectorial continuamente diferenciable nunha veciñanza de , entón
onde é a fronteira de .
Exemplo Supoña que desexa avaliar a integral de superficie:
onde é a esfera unitaria descrita por
e é o campo vectorial dado por
Calcular a devandita integral resulta algo complicado, polo que para facer os cálculos máis doados, empregaremos o teorema da diverxencia, obtendo
onde é a bóla unitaria dada por
Dado que a función é positiva nun hemisferio de e negativa no outro, entón a integral sobre anúlase por simetría. Isto acontece de xeito análogo para a función , isto é:
Polo que
Aplicacións na física O teorema da diverxencia posúe aplicacións en distintas áreas da física ao asociar magnitudes definidas localmente con fluxos sobre fronteiras xeométricas.
Electromagnetismo No electromagnetismo, o teorema constitúe a base matemática da lei de Gauss, permitindo expresar a relación entre o fluxo do campo eléctrico e a distribución de carga tanto en forma integral como diferencial.
Mecánica de fluídos En mecánica de fluídos, o teorema emprégase para formular ecuacións de conservación asociadas ao transporte de masa e enerxía, transformando descricións locais do fluxo en relacións integrais sobre rexións espaciais finitas.
Mecánica clásica En formulacións de mecánica clásica e física continua, o teorema de Gauss–Ostrogradski emprégase para relacionar densidades distribuídas espacialmente con fluxos definidos sobre superficies pechadas.
Xeneralizacións
Múltiples dimensións Pódese empregar o teorema de Stokes para calcular a integral de volume -dimensional da diverxencia dun campo vectorial sobre unha rexión a unha integral de superficie -dimensional de sobre a fronteira de :
Esta ecuación tamén é coñecida como o teorema da diverxencia. Cando , isto é equivalente ao teorema de Green. Cando , redúcese a integración por partes.
Notas
Véxase tamén Outros artigos Lei de Gauss Teorema de Green Teorema de Stokes
Bibliografía R. G. Lerner, G. L. Trigg (1994). Encyclopaedia of Physics (2nd ed.). VHC. ISBN 3-527-26954-1.
Ligazóns externas Differential Operators and the Divergence Theorem at MathPages The Divergence (Gauss) Theorem by Nick Bykov, Wolfram Demonstrations Project.
Categoría:Matemáticas