A aritmética (do grego αριθμός = número) é unha das máis antigas ramas elementais das matemáticas que trata de operacións numéricas como a suma, a resta, a multiplicación e a división. Nun sentido máis amplo, tamén inclúe a potenciación, a extracción de raíces e a obtención de logaritmos.
Comunmente enténdese por aritmética a parte da álxebra elemental ensinada na escola primaria que estuda os números e as operacións básicas que con eles se fan. Os matemáticos tamén falan dunha aritmética superior coa que designan á teoría de números.
Os sistemas aritméticos poden clasificarse segundo o tipo de números cos que operan. A aritmética dos números enteiros refírese aos cálculos con números enteiros positivos e negativos. A aritmética dos números racionais implica operacións con fraccións de números enteiros. A aritmética dos números reais refírese aos cálculos con números reais, que inclúen tanto os números racionais como os números irracionais.
Outra distinción baséase no sistema numérico empregado para realizar cálculos. A aritmética decimal é a máis común. Utiliza os díxitos básicos do 0 ao 9 e as súas combinacións para expresar números. A aritmética binaria, pola contra, é a que utilizan a maioría dos ordenadores e representa os números como combinacións dos díxitos básicos 0 e 1. A aritmética informática ocúpase das particularidades da implementación da aritmética binaria nos ordenadores. Algúns sistemas aritméticos operan con obxectos matemáticos distintos dos números, como a aritmética de intervalos e a aritmética de matrices.
As operacións aritméticas constitúen a base de moitas ramas das matemáticas, como a álxebra, o cálculo e a estatística. Desempeñan un papel similar nas ciencias, como a física e a economía. A aritmética está presente en moitos aspectos da vida cotiá, por exemplo, para calcular o cambio ao facer a compra ou para xestionar as finanzas persoais. É unha das primeiras formas de educación matemática coas que se atopan os estudantes. Os seus fundamentos cognitivos e conceptuais son obxecto de estudo por parte da psicoloxía e a filosofía.
Antigamente a aritmética cinguíase ao estudo das propiedades dos números naturais, dos números enteiros, e dos números racionais (en forma de fraccións), así como das propiedades das operacións entre estes números. As operacións aritméticas tradicionais son a adición, a subtracción, a multiplicación e a división.
Máis tarde esta disciplina medrou, incluíndo o estudo doutros números coma os reais (considerados como expresións numéricas cun número ilimitado de cifras decimais), e de operacións máis complexas derivadas das operacións aritméticas básicas coma as raíces cadradas, as potencias, a exponenciación e os logaritmos.
A práctica da aritmética remóntase polo menos a miles e posiblemente a decenas de miles de anos. Civilizacións antigas como os antigos exipcios e os sumerios inventaron sistemas numéricos para resolver problemas aritméticos prácticos ao redor do ano 3000 a. C. A partir dos séculos VII e VI a. C., os antigos gregos iniciaron un estudo máis abstracto dos números e introduciron o método das demostracións matemáticas rigorosas. Os antigos indios desenvolveron o concepto do cero e o sistema decimal, que os matemáticos árabes perfeccionaron aínda máis e difundiron ao mundo occidental durante a Idade Media. As primeiras calculadoras mecánicas inventáronse no século XVII. Os séculos XVIII e XIX foron testemuñas do desenvolvemento da teoría de números moderna e da formulación dos fundamentos axiomáticos da aritmética. No século XX, a aparición das calculadoras e os ordenadores revolucionou a precisión e a velocidade coa que se podían realizar os cálculos aritméticos.
Definición, etimoloxía e campos relacionados O termo «aritmética» ten a súa orixe no termo latino «arithmetica», que á súa vez deriva das palabras do grego antigo «ἀριθμός» («arithmos»), que significa "número" , e «ἀριθμητική τέχνη» («arithmetike tekhne»), que significa "a arte de contar".
Existen discrepancias sobre a súa definición exacta. Segundo unha interpretación restritiva, a aritmética ocúpase unicamente dos números naturais. Con todo, a opinión máis estendida é que o seu ámbito de aplicación inclúa operacións con números enteiros, racionais, reais e, en ocasións, tamén complexos. | Algunhas definicións limitan a aritmética ao ámbito dos cálculos numéricos. Se se entende nun sentido máis amplo, tamén inclúe o estudo de como se desenvolveu o concepto de números, a análise das propiedades e as relacións entre os números, e o exame da estrutura axiomática das operacións aritméticas.
A aritmética está estreitamente relacionada coa teoría de números e algúns autores utilizan ambos os termos como sinónimos. Con todo, nun sentido máis específico, a teoría de números limítase ao estudo dos números enteiros e céntrase nas súas propiedades e relacións, como a divisibilidade, a factorización e a primalidade. }} Tradicionalmente, coñécese como aritmética superior. Números Os números son obxectos matemáticos que se utilizan para contar cantidades e medir magnitudes. Son elementos fundamentais da aritmética, xa que todas as operacións aritméticas realízanse con números. Existen diferentes tipos de números e diferentes sistemas numéricos para representalos. Tipos miniatura|upright=1.25|alt=Number line with multiple numbers marked. From left to right: −√2 (irrational); −1 (integer); −0.8 (rational); −1/7 (rational); 0 (integer); 0.5 (rational); 1 (integer); 4/3 (rational); √3 (irrational), and 2 (integer).|Diferentes tipos de números nunha recta numérica. Os enteiros son negros , os números racionais son azuis e os números irracionais son verdes.|class=skin-invert-image
Os principais tipos de números que se utilizan en aritmética son os números naturais, os enteiros, os racionais e os reais. Os números naturais son números enteiros que van desde o 1 até o infinito. Non inclúen o 0 nin os números negativos. Tamén se coñecen como números de contar e pódense expresar como . O símbolo dos números naturais é . Os números enteiros son idénticos aos números naturais, coa única diferenza de que inclúen o 0. Pódense representar como e teñen o símbolo . | Algúns matemáticos non establecen a distinción entre os números naturais e os números enteiros, xa que inclúen o 0 no conxunto dos números naturais. O conxunto dos números enteiros inclúe tanto os números enteiros positivos como os negativos. Denótase co símbolo e pode expresarse como .
Segundo o uso que se faga dos números naturais e enteiros, pódense distinguir en cardinais e ordinais. Os números cardinais, como un, dous e tres, son números que expresan a cantidade de obxectos. Responden á pregunta "cantos?". Os números ordinais, como primeiro, segundo e terceiro, indican a orde ou a posición nunha serie. Responden á pregunta "en que posición?".
Un número é racional se pode representarse como a razón entre dous números enteiros. Por exemplo, o número racional obtense dividindo o número enteiro 1, chamado numerador, polo número enteiro 2, chamado denominador. Outros exemplos son e . O conxunto dos números racionais inclúe todos os números enteiros, que son fraccións cun denominador igual a 1. O símbolo dos números racionais é . As fraccións decimais como 0,3 e 25,12 son un tipo especial de números racionais, xa que o seu denominador é unha potencia de 10. Por exemplo, 0,3 é igual a , e 25,12 é igual a . Cada número racional corresponde a un número finito ou a un decimal periódico.
miniatura|alt=Diagrama dun triángulo rectángulo con dous catetos de lonxitude 1 e unha hipotenusa de lonxitude √2 (un número irracional).|Ás veces necesítanse números irracionais para describir magnitudes en xeometría. Por exemplo, a lonxitude da hipotenusa dun triángulo rectángulo é irracional se os seus catetos teñen unha lonxitude de 1.|class=skin-invert-image
Os números irracionais son números que non poden expresarse como a relación entre dous números enteiros. A miúdo son necesarios para describir magnitudes xeométricas. Por exemplo, se un triángulo rectángulo ten os catetos de lonxitude 1, entón a lonxitude da súa hipotenusa vén dada polo número irracional . é outro número irracional e describe a relación entre a circunferencia dun círculo e o seu diámetro. A representación decimal dun número irracional é unha sucesión infinita de decimais que non se repiten.{ }} O conxunto dos números racionais, xunto co conxunto dos números irracionais, forma o conxunto dos números reais. O símbolo dos números reais é . Entre as clases de números aínda máis amplas inclúense os números complexos e os cuaternións. Sistema de numeración
Un díxito é un símbolo que representa un número, e os sistemas numéricos son marcos de representación. Polo xeral, contan cun número limitado de números básicos, que se refiren directamente a determinados números. O sistema establece como se poden combinar estes números básicos para expresar calquera número. Os sistemas numéricos poden ser posicionais ou non posicionais. Todos os primeiros sistemas numéricos eran non posicionais. Nos sistemas numéricos non posicionais, o valor dun díxito non depende da súa posición no número.
O sistema non posicional máis sinxelo é o sistema de numeración unario. Baséase nun só símbolo para o número 1. Todos os números maiores escríbense repetindo este símbolo. Por exemplo, o número 7 pode representarse repetindo sete veces o símbolo do 1. Este sistema fai que resulte engorroso escribir números grandes, polo que moitos sistemas non posicionales inclúen símbolos adicionais para representar directamente os números máis grandes. As variantes dos sistemas numéricos unarios utilízanse nos paus de cálculo, mediante muescas, e nas marcas de cálculo.
miniatura|upright|alt=Diagrama de numerais xeroglíficos|Numerais xeroglíficos do 1 ao 10.000|class=skin-invert-image
Os xeroglíficos exipcios tiñan un sistema numeral non posicional máis complexo. Teñen símbolos adicionais para números como 10, 100, 1000 e 10.000. Estes símbolos pódense combinar nunha suma para expresar números máis grandes de forma máis cómoda. Por exemplo, o numeral 10.405 usa unha vez o símbolo de 10.000, catro veces o símbolo de 100 e cinco veces o símbolo de 1. Un marco similar ben coñecido é o sistema de numeración romana. Ten os símbolos I, V, X, L, C, D, M como numerais básicos para representar os números 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000.
Historia miniatura|upright|alt=Fotografía dun óso antigo con numerosas liñas gravadas.|Algúns historiadores interpretan o óso de Ishango como un dos primeiros obxectos relacionados coa aritmética. miniatura|upright|Táboas aritméticas para nenos, Lausanne, 1835 miniatura|200px|esquerda|Detalle dun manuscrito medieval en alemán con alegorías de cada unha das artes liberais xunto cun representante ilustre. Boecio é escollido para representar á Aritmética.
Os máis famosos restos de operacións aritméticas realizados na prehistoria atópanse no chamado óso de Ishango datado ao redor do 20.000 a.C. Pénsase que este óso marcouse co fin de servir como axuda para operar con números.
Semella claro que ao redor do -1850 os Babilonios xa tiñan un coñecemento sólido de boa parte da aritmética elemental, se nos baseamos no achado de táboas de arxila coma a Plimpton 322, que contén unha lista de números escritos en formato sexaxesimal correspondentes a sinxelas ternas pitagóricas. Tamén os exipcios tiñan extensos coñecementos aritméticos, así coma de xeometría, como amosa o papiro matemático Rhind escrito ao redor do -1650. No tocante ós contidos aritméticos cabe resaltar que neste papiro se pode xa atopar un algoritmo de multiplicación, así coma o emprego de fraccións da unidade.