Se busca o significado deste termo aplicado nas linguas, v. Número gramatical.
miniatura|Escrituras occidental, árabe e nalgunhas linguas indias, das cifras do sistema de numeración decimal. Un número, en ciencia, é unha abstracción que representa unha cantidade ou unha magnitude. En matemáticas un número pode representar unha cantidade métrica ou máis xeralmente un elemento dun sistema numérico ou un número ordinal que representará unha posición dentro dunha orde dunha serie determinada. Os números complexos úsanse como unha ferramenta útil para resolver problemas alxébricos e que alxebricamente son un mero engadido aos números reais que á súa vez ampliaron o concepto de número ordinal. Sobre todo, un número real resolve o problema de comparación de dúas medidas: tanto se son conmensurables ou inconmensurables. Exemplo: o lado dun cadrado é conmensurable co seu perímetro, pero o lado do cadrado coa diagonal do mesmo son inconmensurables.A.I. Fetísov. Acerca de la demostración en geometría. Editorial Mir, Moscú (1980)
O símbolo dun número recibe o nome de numeral, mentres que cada un dos signos que conforman o numeral recibe o nome de algarismo. Pódese falar así de algarismos arábigos (0, 1, ..., 9), algarismos romanos (I,V,X,C,D,M) etc.
Os números úsanse con moita frecuencia na vida diaria tamén como etiquetas (números de teléfono, numeración de estradas), como indicadores de orde (números de serie), como códigos (ISBN) etc.
Tipos de número Na Matemática, a definición de número esténdese a partir dos números naturais para incluír abstraccións tales como números negativos, fraccionarios, irracionais, transcendentes e complexos, como se aprecia na seguinte táboa:
Nome Símbolo Exemplos Naturais 1, 2, 3, 4,... Enteiros 1, -1, 2, -2, 3, -3,... Racionais 1, 1/2, 4/3, -1/4,... Irracionais número e, número pi, Reais 1, 1/2, Complexos onde Os números máis coñecidos son os números naturais. Denotados mediante , son conceptualmente os máis simples e os que se usan para contar unidades discretas. Estes, conxuntamente cos números negativos, conforman o conxunto dos enteiros, denotados mediante (do alemán Zahlen 'números'). Os números negativos permiten representar formalmente débedas, e permiten xeneralizar a resta de calquera dos números naturais.
Outro tipo de números amplamente usados son números fraccionarios, e tanto cantidades inferiores a unha unidade, como números mixtos (un conxunto de unidades máis unha parte inferior á unidade). Os números fraccionarios poden ser expresados sempre como cocientes de enteiros. O conxunto de todos os números fraccionarios é o conxunto dos números racionais (que usualmente defínese para que inclúa tanto aos racionais positivos, como aos racionais negativos e o cero). Este conxunto de números desígnase como .
Os números racionais permiten resolver gran cantidade de problemas prácticos, pero desde os antigos gregos coñécese que certas relacións xeométricas (a diagonal dun cadrado de lado unidade) son números non enteiros que tampouco son racionais. Igualmente, a solución numérica dunha ecuación polinómica cuxos coeficientes son números racionais, usualmente é un número non racional. Pode demostrarse que calquera número irracional pode representarse como unha sucesión de Cauchy de números racionais que se aproximan a un límite numérico. O conxunto de todos os números racionais e os irracionais (obtidos como límites de sucesións de Cauchy de números racionais) é o conxunto dos números reais . Durante un tempo pensouse que toda magnitude física existente podía ser expresada en termos de números reais exclusivamente. Entre os reais, existen números que non son solucións dunha ecuación polinomial ou alxébrica, que reciben o nome de transcendentais. Exemplos famosos destes números son o número π (Pi) e o número e (esta último base dos logaritmos naturais), os cales están relacionados entre si pola identidade de Euler.
Un dos problemas dos números reais é que non forman un corpo alxebricamente pechado, polo que certos problemas non teñen solución expostos en termos de números reais. Esa é unha das razóns polas cales se introduciron os números complexos , que son o mínimo corpo alxebraicamente pechado que contén aos números reais. Ademais algunhas aplicacións prácticas así como nas formulacións estándar da mecánica cuántica considérase útil introducir os números complexos. Ao parecer a estrutura matemática dos números complexos reflicte estruturas existentes en problemas físicos, polo que en física teórica e en diversas aplicacións os números complexos úsanse en pé de igualdade cos números reais, a pesar de que inicialmente foron considerados unicamente como un artificio matemático sen relación coa realidade física. Todos os conxuntos de números foron dalgunha maneira "descubertos" ou suxeridos en conexión con problemas expostos en problemas físicos ou no seo da matemática elemental e todos eles parecen ter importantes conexións coa realidade física.
Fóra dos números reais e complexos, claramente conectados con problemas das ciencias naturais, existen outros tipos de números que xeneralizan aínda máis e estenden o concepto de número dunha maneira máis abstracta e responden máis a creacións deliberadas de matemáticos. A maioría destas xeneralizacións do concepto de número úsanse só en matemáticas, aínda que algúns deles atoparon aplicacións para resolver certos problemas físicos.
Alén destes números habitualmente estudados en primaria e secundaria, hai algunhas álxebras que se corresponden con estruturas numéricas nas que se combinan máis dimensións (igual que se pode interpretar coma un plano no que se poden multiplicar os seus puntos). Trátase, por exemplo, dos cuaternións (), os octonións () e os sedenións (), que terían unha correspondencia cos espazos , e dotados cun produto entre os seus elementos. Este tipo de construcións reciben o nome de números hipercomplexos.
A un nivel un pouco máis abstracto tamén se idearon conxuntos de números capaces de tratar con cantidades infinitas e infinitesimais como os hiperreais e os transfinitos.
Enumeración dos tipos A teoría dos números trata basicamente das propiedades dos números naturais e os enteiros, mentres que as operacións do álxebra e o cálculo permiten definir a maior parte dos sistemas numéricos, entre os cales están: Números naturais Número primo Números compostos Números perfectos Números enteiros Números negativos Números pares Números impares Números racionais Números reais Números irracionais Números alxébricos Números transcendentes: Número π Número e Extensións dos números reais Números complexos Números hipercomplexos Cuaternións Octonións Números hiperreais Números superreais Números surreais Números usados en teoría de conxuntos Números ordinais Números cardinais Números transfinitos Estrutura
En álxebra abstracta e análise matemática un sistema numérico caracterízase por unha:
Estrutura alxébrica, usualmente un anel conmutativo ou corpo matemático (no caso non conmutativo son un álxebra sobre un corpo e no caso dos números naturais só un monoide conmutativo). Estrutura de orde, usualmente un conxunto ordenado, no caso dos números naturais, enteiros, racionais e reais trátase de conxuntos totalmente ordenados, aínda que os números complexos e hipercomplexos só son conxuntos parcialmente ordenados. Os reais ademais son un conxunto ben ordenado e cun orde densa.Non hai relación de orde no conxunto ℂ dos complexos, tal como existe nos reais, racionais, enteiros e naturais Estrutura topolóxica, os conxuntos numéricos numerables usualmente son conxuntos disconexos, sobre os que se considera a topoloxía discreta, mentres que sobre os conxuntos non numerables considérase unha topoloxía que os fai adecuados para a análise matemática.
Outra propiedade interesante de moitos conxuntos numéricos é que son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler e diagramas de Venn, podéndose tomar unha combinación de ambos nun diagrama de Euler-Venn coa forma característica de cuadrilátero e ademais podéndose representar internamente un diagrama de Hasse (é unha recta). Tanto historicamente como conceptualmente, os diversos conxuntos numéricos, desde o máis simple dos números naturais, ata extensións transcentes dos números reais e complexos, elaboradas mediante a teoría de modelos durante o século XX, constrúense desde unha estrutura máis simple ata outra máis complexa.Non necesariamente. O sistema dos números reais pode ser definido axiomaticamente, tal como fíxoo David Hilbert; do mesmo xeito o dos números complexos, tal como fano: Polya, Alfhors, Markusevich etc. Números naturais especiais O estudo de certas propiedades que cumpren os números produciu unha enorme cantidade de tipos de números, a maioría sen un interese matemático específico. A continuación indícanse algúns: Narcisista: número de n díxitos que resulta ser igual á suma das potencias de orde n dos seus díxitos. Exemplo: 153 = 1³ + 5³ + 3³. Omirp: número primo que ao inverter os seus díxitos dá outro número primo. Exemplo: 1597 e 7951 son primos. Vampiro: número que é o produto de dous números obtidos a partir dos seus díxitos. Exemplo: 2187 = 27 x 81. Hamsteriano: A súa estrutura aritmética N= (a×b)2-1, onde a e b son primos os dous, a suma dos seus divisores excede N, e a cantidade dos seus divisores é > a×b/2; vai como exemplo: 1224 = (5×7)2-1
Unha vez entendido o problema da natureza e a clasificación dos números, xorde outro, máis práctico, pero que condiciona todo o que se vai a facer con eles: a maneira de escribilos. O sistema que se impuxo universalmente é a numeración posicional, grazas ao invento do cero, cunha base constante.
Máis formalmente, en The concept of number, o matemático Frege realiza unha definición de «número», a cal foi tomada como referencia por moitos matemáticos (entre eles Russell, cocreador de principia mathematica):
Véxase tamén que Frege, tanto como calquera outro matemático, ven inhabilitados para definir ao número como a expresión dunha cantidade, porque a simboloxía matemática non fai referencia necesaria á numerabilidade, e o feito de «cantidade» referiría a algo numerable, mentres que números se adoptan para definir a cardinalidade de, por exemplo, os elementos que se atopan no intervalo aberto (0, 1), que contén innumerables elementos (o continuo).
Peano, antes de establecer as súas cinco proposicións sobre os números naturais, explícita que supón sabida unha definición (quizais debido á súa «obviedade») das palabras ou conceptos cero, sucesor e número. Desta maneira postula: 0 é un número o sucesor de todo número é un número dous números diferentes non teñen o mesmo sucesor 0 non é o sucesor de ningún número e a propiedade indutiva
Con todo, se un define o concepto cero como o número 100, e o concepto número como os números maiores a 100, entón as cinco proposicións mencionadas anteriormente aplican, non á idea que Peano querería comunicar, senón á súa formalización.
A definición de número atópase polo tanto non totalmente formalizada, aínda que se atope un acordo maioritario en adoptar a definición enunciada por Frege.
Tipos de números enteiros Os números pares son números enteiros que só se poden dividir de forma exacta por 1 e por 2. Os números impares non poden dividirse por 2 de forma exacto. En ambos os casos, poden ser divisíbeis por outros números chamados divisores. Exemplos: 4, 120 e 44 992 son pares. Son divisibles por 2 e dan un resultado exacto: 2, 60 e 22 496 respectivamente. 3, 121 e 44 991 son impares. Ao dividilos por 2, obtense sempre un resto de 1.
Un número primo é un número enteiro maior que 1 que non pode ser expresado como produto de dous enteiros positivos menores ca el. Estes números veñen sendo estudados dende hai máis de 2000 anos.
Outros números enteiros son os números de Fibonacci ou os números perfectos.
Tipos de números complexos