No cálculo, a integral dunha función foi creada orixinalmente para determinar a área baixo unha curva no plano cartesiano, mais tamén xorde naturalmente en ducias de problemas de Física, como por exemplo na determinación da posición en todos os instantes dun obxecto, sendo coñecida a súa velocidade en todos os instantes.
O proceso de calcular a integral dunha función chámase integración.
Diferentemente da noción asociada de derivación, existen varias definicións para a integración. Todas elas tratando de resolver algúns problemas conceptuais relacionadas con límites, continuidade e existencia de certos procesos utilizados na definición. Porén todas estas definicións dan a mesma resposta para o resultado final dunha integración.
Cando a integral é sobre un intervalo definido trátase dunha integral definida , con resultado un valor numérico. Cando a integral non ten un intervalo definido chámase antiderivada , ou integral indefinida, ou primitiva, ou inversa da derivada con resultado unha función. Definición conceptual
miniatura|dereita|Integrando a área dunha función abaixo dunha curva. Para describir a integral dunha función f(x) dun intervalo x entre [a, b] utilízase a notación:
A idea desta notación utilizando un S dado é xeneralizar a noción de sumatorio. Isto porque intuitivamente a integral de pode ser entendida como a suma de pequenos rectángulos de base e altura , onde o produto é a área deste rectángulo. A suma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixo da curva. Máis precisamente pode dicirse que a integral de riba é o valor límite da suma:
onde:
é a lonxitude dos pequenos intervalos nos cales se divide o intervalo , é o valor da función nalgún punto deste intervalo. O que se espera é que cando for moito grande o valor da suma se aproxime do valor da área debaixo da curva e, polo tanto, da integral de no intervalo. Ou sexa que o límite
estea definido. O problema é que este raciocinio intuitivo é difícil de expresar en linguaxe matemática precisa. Por isto existen varias formas de definir a integración dun xeito formal. O resultado, no entanto, é coherente entre elas.
Teorema do valor medio do cálculo integral
thumb|dereita|Xeometricamente: interpretando f(c) como a altura dun rectángulo e b–a como o ancho, este rectángulo ten a mesma área que a rexión embaixo da curva de a a b Sexa f : [a, b] → R unha función continua. Entón existe c en (a, b) tal que
Isto dedúcese tamén do teorema fundamental do cálculo, xunto co teorema do valor medio para as derivadas. Dado que o valor medio de f en [a, b] defínese como
podemos interpretar a conclusión como f alcanza o seu valor medio nalgún c en (a, b).
En xeral, se f : [a, b] → R é continua e g é unha función integrábel que non muda de signo en [ a, b], entón existe c en (a, b) tal que
Teorema fundamental do Cálculo
A función procurada F(x) é unha función tal que, ao tomar a súa derivada obtense a función f(x). Esta propiedade móstranos que a integración na verdade é a operación inversa da derivación, pois ao derivar unha función e deseguido a integrarmos, obterase a función orixinal. Demostración
Polo teorema do valor medio do cálculo integral existe un punto tal que
A maiores se , entón e temos finalmente que
Demostración 2 Ao resolver a integral de riba entre os límites a e b, o resultado final pódese escribir como:
Onde a función F(x) é a función resultante da integración da función f(x). O problema da integración, isto é, atopar a solución para unha integral, resúmese polo tanto a atopar a función F(x).
Para ver isto, supoña que o límite superior da integral, isto é, b é moito próximo de a, tal que se poida escribir:
Como os puntos límites da integral están moito próximos pode escribirse:
E ollando na definición da integración como un límite, dada arriba, pode dicirse que a integral, neste caso resúmese a só un dos termos na suma, e polo tanto pode dicirse, sen causar un erro moi grande, que:
Comparando coa definición da derivada dunha función:
Exemplo de cálculo paso a paso para un polinomio
Calculando primeiro as primitivas (integral indefinida) e despois aplicando os valores do intervalo (integral definida).
Fórmula da primitiva para as potencias de x
sendo unha constante.
Exemplo cun polinomio:
Trátase cada membro da función como unha función separada, e deseguido efectúase a suma entre eles e xérase outra función, a función na cal se substituirá o valor de X polos valores do intervalo; deste xeito, úsase o teorema do cálculo para chegar ao valor da integral.
Intervalo
Aquí úsase a Fórmula da Primitiva para cada integral.
Isto xera a función que se usará para substituír os valores do intervalo.
.
Para
Para
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO.
Exemplos de integrais
Unha breve lista das integrais indefinidas máis frecuentes son
Se , daquela .
E tres exemplos para obter a integral definida dadas as correspondentes primitivas:
(Integral da función constante f(x)=1) (Integral dunha función f(x) = x)
Por definición, a barra utilízase co significado da diferenza
Definicións de integral Hai moitas formas de definir formalmente unha integral, non todas son equivalentes. As diferenzas existen principalmente para tratar casos especiais diferentes que poden non ser integrábeis baixo outras definicións, mais tamén son ocasionalmente por razóns pedagóxicas. As definicións máis utilizadas son as de integral de Riemann e integral de Lebesgue.
Integral de Riemann
thumbnail|Integral baixo o punto de visda das sumas de Riemann baseadas nunha partición etiquetada, con posicións de mostraxe e anchos irregulares (máximo en vermello). A integral de Riemann defínese en termos de sumas de Riemann de funcións en relación ás particións etiquetadas dun intervalo. Sexa [a,b] un intervalo pechado da recta real; entón unha partición etiquetada de [a,b] é unha secuencia finita:
thumbnail|left|Converxencia das sumas de Riemann como intervalos divididos, cando a mostraxe faise á ■ dereita, ■ o mínimo, ■ o máximo ou ■ a esquerda. Isto divide o intervalo [a,b] en subintervalos i [xi−1, x i], onde cada un deles está "etiquetado" cun punto específico ti de [xi−1, xi]. Sexa Δi = xi−xi−1 o ancho do subintervalo i. Unha suma de Riemann dunha función f en relación a esta partición etiquetada defínese como
Así, cada termo da suma é a área do rectángulo cunha altura igual ao valor da función no punto especificado do subintervalo dado e do mesmo ancho que o ancho do subintervalo. O paso desta partición etiquetada é o ancho do maior subintervalo obtido pola partición, isto é, maxi=1…n Δi. A integral de Riemann dunha función f sobre o intervalo [a,b] é igual a S se: Para todos os ε > 0 existe δ > 0 tal que, para calquera partición etiquetada [a,b] cun paso menor que δ, temos
Cando as etiquetas escollidas dan o valor máximo (ou mínimo) da función na integral respectiva, a suma de Riemann convértese nunha suma de Darboux superior (ou inferior), o que suxire a estreita conexión que existe entre a integral de Riemann e a integral de Darboux.
Integral de Lebesgue
A integral de Riemann non está definida para unha ampla gama de funcións e situacións de importancia práctica (e de interese teórico). Por exemplo, a integral de Riemann pode integrar facilmente a densidade para obter a masa dunha trabe de aceiro, mais non se pode adaptar a unha bola de aceiro que descansa sobre ela. Isto motiva a creación doutras definicións, baixo as que se poden integrar unha variedade máis ampla de funcións.Rudin, Walter (1987). Análise real e complexa. "Capítulo 1: Integración abstracta" (ed. Internacional), McGraw-Hill, A integral de Lebesgue, en particular, alcanza unha gran flexibilidade baseada en centrar a atención nos pesos da suma ponderada.
Así, a definición da integral de Lebesgue comeza cunha medida, μ. No caso máis sinxelo, a medida de Lebesgue μ(A) dun intervalo A = [a,b] é o seu ancho, b − a, polo que a integral de Lebesgue coincide coa integral de Riemann cando ambas as dúas existen. En casos máis complicados, os conxuntos que se van medir poden estar moi fragmentados, sen continuidade nin semellanza de intervalos.
Para sacar proveito desta flexibilidade, a integral de Lebesgue inverte o enfoque da suma ponderada. Como di Folland:Folland, Gerald B. (1984). Análise real: técnicas modernas e as súas aplicacións (1ª ed.), John Wiley & Sons, "Para calcular a integral de Riemann de f, o dominio [a,b] está dividido en subintervalos", mentres que na integral de Lebesgue, "de feito o que se está a dividir é o camiño de f ".
Un enfoque común é definir primeiro a integral da función característica dun conxunto medible A como: . Isto esténdese por linearidade a unha función en escada simple, que só teñen un número finito n de valores distintos non negativos:
(onde a imaxe de Ai cando se aplica a función en escada s é o valor constante ai). Entón, se E é un conxunto medíbel, defínese
Entón, para calquera función medible non negativa defínese f
É dicir, estabelécese que a integral de f é o supremo de todas as integrais de función en escada que son menores ou iguais a f. Calquera función medíbel "f" sepárase entre os seus valores positivos e negativos en función da definición
Finalmente, f é Lebesgue integrábel se
E entón a integral defínese por
Cando o espazo métrico no que se definen as funcións tamén é un espazo topolóxico localmente compacto (como é o caso dos números reais ℝ), as medidas son compatíbeis coa topoloxía en certo sentido apropiado (medida de Radon). Este é o enfoque adoptado por BourbakiBourbaki, Nicolas (2004). Integración I, Springer Verlag, . En particular, os capítulos III e IV. e un certo número doutros autores. Para máis detalles, consulte Medidas de Radon.
Outras definicións de integral Aínda que as integrais de Riemann e Lebesgue son as definicións máis importantes dunha integral, hai algunhas outras, incluíndo: A integral de Riemann-Stieltjes, unha extensión da integral de Riemann. A integral de Lebesgue-Stieltjes, desenvolvida por Johann Radon, que xeneraliza as integrais de Riemann-Stieltjes e Lebesgue. A integral de Daniell, que inclúe a integral de Lebesgue e a integral de Lebesgue-Stieltjes sen necesidade de depender de ningunha medida. A integral de Henstock-Kurzwe, definida de varias maneiras por Arnaud Denjoy, Oskar Perron e (na forma máis elegante) Jaroslav Kurzweil, é desenvolvida por Ralph Henstock. A integral de Darboux, que é equivalente á integral de Riemann. A integral de Haar, que é a integral de Lebesgue coa medida de Haar.
Propiedades da integral definida
Se , daquela
Se , daquela Se , temos
Cálculo de integrais Para calcular unha integral pódese buscar unha primitiva da función e despois aplicar o teorema fundamental do cálculo para determinar o valor da integral.
Pódese tentar automatizar esta técnica usando programas informáticos que implementen algoritmos de integración simbólica. Non sempre é posible atopar a primitiva dunha función e ás veces, aínda que sexa posible, o resultado é moi complexo.
Outra forma de atopar un valor aproximado da integral é utilizar o que se chama cadratura numérica, que é un conxunto de algoritmos que permiten calcular aproximadamente o valor da integral directamente sen atopar antes a función primitiva.
Mediante cálculo de primitivas A técnica máis básica para calcular integrais dunha variable real baséase no teorema fundamental do cálculo. Proceda do seguinte xeito: Escolla unha función f(x) e un intervalo [a, b]. Procure unha primitiva de f, é dicir, unha función F tal que F''' = f. Usando o teorema fundamental do cálculo, asumindo que nin o integrando nin a integral teñen singularidades no camiño da integración,
Polo tanto, o valor da integral é F(b) − F(a).