Cauchyjeve funkcijske jednadžbe smatraju se najvažnijim funkcijskim jednadžbama. Nazvane su prema francuskom matematičaru Augustinu Louisu Cauchyu.
Postoje četiri tipa Cauchyjevih funkcijskih jednadžbi: aditivna, multiplikativna, eksponencijalna i logaritamska.Cauchyjeve funkcijske jednadžbe Najprepoznatljivija od njih je aditivna, gdje je .
Rješenje aditivne Cauchyeve funkcijske jednadžbe Treba naći sve funkcije za koje je za sve .
Rješenje. Uvrštavanjem dobivamo pa je . Uvrštavanjem dobivamo što znači da je . Dakle, sve funkcije koje zadovoljavaju gornju jednadžbu su neparne funkcije.
Neka je sada . Vrijedi Iz ovoga je Sada zaključujemo da vrijedi za sve . Dakle, vrijedi i za sve .
No, to znači da je za sve .
Provjerom se lako vidi da to zaista jest rješenje.
Ostali tipovi Cauchyeve jednadžbe Osim aditivne postoje i multiplikativna, eksponencijalna i logaritamska funkcijska jednadžba.
One glase ovako.
multiplikativna: , eksponencijalna: , logaritamska: .
Izvori
Kategorija:Matematika