U fizici, Hamilton-Jacobijeva jednadžba je parcijalna diferencijalna jednadžba koja predstavlja alternativnu formulaciju klasične mehanike, ekvivalentnu drugim formulacijama kao što su Newtonovi zakoni gibanja, Lagrangeova mehanika i Hamiltonova mehanika.
Hamilton-Jacobijeva jednadžba je jedna od najelegantnijih formulacija mehanike u kojoj se gibanje čestice može predstaviti kao gibanje vala. U tom smislu, ispunila je dugogodišnji cilj teorijske fizike (koji datira barem od Johanna Bernoullija u 18.st) pronalaska analogije između širenja svjetlosti i gibanja čestice.
Valna jednadžba koju slijede mehanički sustavi slična je, ali nije identična, Schrödingerovoj jednadžbi, kao što je opisano u nastavku; zbog toga se Hamilton-Jacobijeva jednadžba smatra "najbližim pristupom" klasične mehanike kvantnoj mehanici.
Jednadžba je dobila ime po matematičarima William Rowan Hamilton i Carl Gustav Jacobi.
Pregled
Za danu Hamiltonovu funkciju mehaničkog sustava, Hamilton-Jacobijeva jednadžba je nelinearna parcijalna diferencijalna jednadžba prvog reda, za Hamiltonovu glavnu funkciju :
Ova jednadžba je vremenski ovisna jednadžba, odnosno vrijedi i kad je Hamiltonijan funkcija vremena.
Rješenje ove jednadžbe je generirajuća funkcija kanonske transformacije drugog tipa.
Geometrijske površine stalnog djelovanja okomite su na putanje sustava, stvarajući pogled na dinamiku sustava nalik valnoj fronti te povezujući klasičnu mehaniku čestica i gibanje valova u optici u jednu cjelinu.
Kanonska količina gibanja definirana je kao:
Stacionarni oblik Vrlo često se za Hamiltonove (konzervativne) sustave može pretpostaviti kako Hamiltonijan ne ovisi o vremenu te jednadžba poprima oblik:
Upravo s ovom jednadžbom započinje Schrödingerov rad Quantisierung als Eigenwertproblem u kojem po prvi put predlaže slavnu Schrödingerovu jednadžbu za stacionarno stanje:
Izvod pomoću kanonske transformacije Hamilton–Jacobijeva jednadžba može se izvesti pomoću kanonskih transformacija i generirajućih funkcija.
Za generirajuću funkciju drugog tipa vrijede relacije:
Ideja Hamilton–Jacobijeve teorije jest pojednostaviti problem nalaženjem kanonske transformacije koja sustav svodi na trivijalnu dinamiku. Odabire se generirajuća funkcija takva da novi Hamiltonijan po definiciji bude jednak nuli:
odakle slijedi Hamilton–Jacobijeva jednadžba:
Funkcija je generirajuća funkcija drugog tipa koja definira kanonsku transformaciju koordinata u nove varijable , pri čemu se Hamiltonijan transformira u novi Hamiltonijan .
Kako su, zbog toga što je , nove kanonske koordinate konstantne, obično se označavaju kao i .
Odnos s kvantnom mehanikom Schrödingerova jednadžba kvantne mehanike glasi:
Ako se promatra oblik Schrödingerove jednadžbe za česticu u nekom potencijalu dobiva se slijedeći oblik:
Ako se napravi supstitucija varijabli:
te ova jednadžba (nakon potrebnog deriviranja) uvrsti u Schrödingerovu jednadžbu dobije se oblik:
Odnosno, nakon skraćivanja dobije se:
Klasična mehanika zapravo proizlazi iz kvantne mehanike u limesu kada te slijedi:
a ovo je upravo Hamilton-Jacobijeva jednadžba klasične mehanike. Ovime je pokazan prijelazak iz kvantne mehanike u klasičnu.
Usporedba optike i kvantne mehanike
Vrlo lako se može napraviti usporedba s optikom, odnosno elektromagnetizmom (fizikalna optika). Može se primijetiti kako je Hamilton-Jacobijeva jednadžba kvantnoj mehanici isto što je i eikonalna jednadžba valnoj jednadžbi elektromagnetizma. Eikonalna jednadžba i Hamilton-Jacobijeva jednadžba su sporo varirajuće aproksimacije (WKB aproksimacije) pripadajućih fundamentalnijih valnih jednadžbi.
<div style="display:flex; justify-content:space-around; text-align:center;">
<div style="flex:1;"> Elektromagnetizam
Valna jednadžba elektromagnetizma ↓
Eikonalna jednadžba </small> </div>
Kvantna mehanika
Schrödingerova jednadžba ↓
Hamilton–Jacobijeva jednadžba
</div>
Primjeri
Slobodna čestica
Za primjer slobodne čestice u 1D, Hamilton-Jacobijeva jednadžba glasi:
Ako je , funkcija se može rastaviti na dva dijela kao:
Rješenje za glasi:
Također, u novom faznom prostoru, nove kanonske kordinate su konstantne, te vrijedi:
,
odnosno ukoliko se izrati :
što je rješenje za slobodnu česticu.
Bilješke
Izvori
Vanjske poveznice Hamilton-Jacobijeva jednadžba
Kategorija:Fizika